Invariantní faktorizace LPDO - Invariant factorization of LPDOs

tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Ledna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The faktorizace lineárního parciálního diferenciálního operátoru (LPDO) je důležitou otázkou v teorii integrability, kvůli transformacím Laplace-Darboux,^[1] které umožňují konstrukci integrovatelných LPDE. Laplace vyřešil problém faktorizace pro a bivariační hyperbolický operátor druhého řádu (vidět Hyperbolická parciální diferenciální rovnice ), konstrukce dvou Laplaceových invarianty. Každý Laplaceův invariant je explicitní polynomiální podmínka faktorizace; koeficienty tohoto polynomu jsou explicitní funkce koeficientů počátečního LPDO. Polynomiální podmínky faktorizace se nazývají invarianty protože mají stejnou formu pro ekvivalentní (tj. samoadjungované) operátory.

Beals-Kartashova-faktorizace (nazývaný také BK-faktorizace) je konstruktivní postup pro faktorizaci bivariační operátor libovolného pořadí a libovolné formy. Odpovídajícím způsobem mají faktorizační podmínky v tomto případě také polynomiální formu, jsou invarianty a se shodují s Laplaceovými invarianty pro dvojrozměrné hyperbolické operátory druhého řádu. Postup faktorizace je čistě algebraický, počet možných faktorizací závisí na počtu jednoduchých kořenů Charakteristický polynom (také nazývaný symbol) počátečních LPDO a redukovaných LPDO objevujících se v každém faktorizačním kroku. Níže je popsán faktorizační postup pro dvojrozměrný operátor libovolné formy řádu 2 a 3. Explicitní faktorizační vzorce pro operátora řádu ${ displaystyle n}$ najdete v^[2] Obecné invarianty jsou definovány v^[3] a invariantní formulace Beals-Kartashovovy faktorizace je uvedena v^[4]

Beals-Kartashova faktorizace

Provozovatel objednávky 2

Zvažte operátora

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = a_ {20} částečné _ {x} ^ {2} + a_ {11} částečné _ {x} částečné _ {y} + a_ {02 } částečné _ {y} ^ {2} + a_ {10} částečné _ {x} + a_ {01} částečné _ {y} + a_ {00}.}$

s hladkými koeficienty a hledejte faktorizaci

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = (p_ {1} částečné _ {x} + p_ {2} částečné _ {y} + p_ {3}) (p_ {4} částečné _ {x} + p_ {5} částečné _ {y} + p_ {6}).}$

Zapíšeme rovnice ${ displaystyle p_ {i}}$ výslovně, mít na paměti pravidlo vlevo, odjet složení, tj. to

${ displaystyle částečné _ {x} ( alfa částečné _ {y}) = částečné _ {x} ( alfa) částečné _ {y} + alfa částečné _ {xy}.}$

Pak ve všech případech

${ displaystyle a_ {20} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {11} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {02} = p_ {2} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

kde notace ${ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} částečné _ {x} + p_ {2} částečné _ {y}}$ se používá.

Bez ztráty obecnosti, ${ displaystyle a_ {20} neq 0,}$ tj. ${ displaystyle p_ {1} neq 0,}$ a lze to brát jako 1, ${ displaystyle p_ {1} = 1.}$ Nyní řešení systému 6 rovnic na proměnných

${ displaystyle p_ {2},}$ ${ displaystyle ...}$ ${ displaystyle p_ {6}}$

najdete v tři kroky.

V prvním kroku, kořeny a kvadratický polynom musí být nalezeny.

Ve druhém kroku, lineární systém dvě algebraické rovnice musí být vyřešen.

Ve třetím kroku, jedna algebraická podmínka musí být zkontrolováno.

Krok 1.Proměnné

${ displaystyle p_ {2},}$ ${ displaystyle p_ {4},}$ ${ displaystyle p_ {5}}$

lze najít z prvních tří rovnic,

${ displaystyle a_ {20} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {11} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {02} = p_ {2} p_ {5}.}$

(Možná) řešení jsou pak funkcemi kořenů kvadratického polynomu:

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2} (- p_ {2}) = a_ {20} (- p_ {2}) ^ {2} + a_ {11} (- p_ {2}) + a_ {02} = 0}$

Nechat ${ displaystyle omega}$ být kořenem polynomu ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2},}$pak

${ displaystyle p_ {1} = 1,}$

${ displaystyle p_ {2} = - omega,}$

${ displaystyle p_ {4} = a_ {20},}$

${ displaystyle p_ {5} = a_ {20} omega + a_ {11},}$

Krok 2.Nahrazení výsledků získaných v prvním kroku do dalších dvou rovnic

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {6},}$

získá lineární systém dvou algebraických rovnic:

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} a_ {20} + p_ {3} a_ {20} + p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (a_ {11} + a_ {20} omega) + p_ {3} (a_ {11} + a_ {20} omega) - omega p_ {6}.}$

Zvláště, pokud kořen ${ displaystyle omega}$ je jednoduchý, tj.

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2} '( omega) = 2a_ {20} omega + a_ {11} neq 0,}$ pak tyto

rovnice mají jedinečné řešení:

${ displaystyle p_ {3} = { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - omega { mathcal {L}} a_ {20} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}},}$

${ displaystyle p_ {6} = { frac {(a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20}) - a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11}))} {2a_ {20} omega + a_ {11}}}.}$

V tomto kroku pro každý kořen polynomu ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2}}$ odpovídající sada koeficientů ${ displaystyle p_ {j}}$ je vypočítán.

Krok 3.Zkontrolujte podmínku faktorizace (což je poslední z původních 6 rovnic)

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

zapsané ve známých proměnných ${ displaystyle p_ {j}}$ a ${ displaystyle omega}$):

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} vlevo {{ frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} doprava } + { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} times { frac {a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} ( a_ {20} omega + a_ {11})) + (a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20})} {2a_ {20 } omega + a_ {11}}}}$

Li

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} vlevo {{ frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ { 20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} right } + { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal { L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} krát { frac {a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11})) + (a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20}) } {2a_ {20} omega + a_ {11}}} = 0,}$

operátor ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2}}$ je faktorizovatelná a explicitní forma faktorizačních koeficientů ${ displaystyle p_ {j}}$ je uveden výše.

Provozovatel objednávky 3

Zvažte operátora

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {3} = součet _ {j + k leq 3} a_ {jk} částečný _ {x} ^ {j} částečný _ {y} ^ {k} = a_ {30} částečné _ {x} ^ {3} + a_ {21} částečné _ {x} ^ {2} částečné _ {y} + a_ {12} částečné _ {x} částečné _ {y} ^ {2} + a_ {03} částečné _ {y} ^ {3} + a_ {20} částečné _ {x} ^ {2} + a_ {11} částečné _ {x} částečné _ {y} + a_ {02} částečné _ {y} ^ {2} + a_ {10} částečné _ {x} + a_ {01} částečné _ {y} + a_ {00}.}$

s hladkými koeficienty a hledejte faktorizaci

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {3} = (p_ {1} částečné _ {x} + p_ {2} částečné _ {y} + p_ {3}) (p_ {4} částečné _ {x} ^ {2} + p_ {5} částečné _ {x} částečné _ {y} + p_ {6} částečné _ {y} ^ {2} + p_ {7} částečné _ {x } + p_ {8} částečné _ {y} + p_ {9}).}$

Podobně jako v případě operátora ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2},}$ podmínky faktorizace popisuje následující systém:

${ displaystyle a_ {30} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {21} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {12} = p_ {2} p_ {5} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {03} = p_ {2} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {20} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {7},}$

${ displaystyle a_ {11} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {7} + p_ {1} p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {02} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6} + p_ {2} p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {7}) + p_ {3} p_ {7} + p_ {1} p_ {9},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {8}) + p_ {3} p_ {8} + p_ {2} p_ {9},}$

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9},}$

s ${ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} částečné _ {x} + p_ {2} částečné _ {y},}$ a znovu ${ displaystyle a_ {30} neq 0,}$ tj. ${ displaystyle p_ {1} = 1,}$ a výtěžek ve třech krocích:

V prvním kroku, kořeny a kubický polynom

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {3} (- p_ {2}): = a_ {30} (- p_ {2}) ^ {3} + a_ {21} (- p_ {2}) ^ {2} + a_ {12} (- p_ {2}) + a_ {03} = 0.}$

musí být nalezeny. Znovu ${ displaystyle omega}$ označuje kořen a první čtyři koeficienty jsou

${ displaystyle p_ {1} = 1,}$

${ displaystyle p_ {2} = - omega,}$

${ displaystyle p_ {4} = a_ {30},}$

${ displaystyle p_ {5} = a_ {30} omega + a_ {21},}$

${ displaystyle p_ {6} = a_ {30} omega ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}.}$

Ve druhém kroku, lineární systém tři algebraické rovnice je třeba vyřešit:

${ displaystyle a_ {20} - { mathcal {L}} a_ {30} = p_ {3} a_ {30} + p_ {7},}$

${ displaystyle a_ {11} - { mathcal {L}} (a_ {30} omega + a_ {21}) = p_ {3} (a_ {30} omega + a_ {21}) - omega p_ {7} + p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {02} - { mathcal {L}} (a_ {30} omega ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}) = p_ {3} (a_ {30} omega ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}) - omega p_ {8}.}$

Ve třetím kroku, dvě algebraické podmínky musí být zkontrolováno.

Provozovatel objednávky ${ displaystyle n}$

Invariantní formulace

Definice Provozovatelé ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$ se nazývají rovnocenné, pokud existuje transformace měřidla, která přivede jednu k druhé:

${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} g = e ^ {- varphi} { mathcal {A}} (e ^ { varphi} g).}$

BK-faktorizace je pak čistě algebraický postup, který umožňuje výslovně sestrojit faktorizaci libovolného řádu LPDO ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$ve formě

${ displaystyle { mathcal {A}} = součet _ {j + k leq n} a_ {jk} částečný _ {x} ^ {j} částečný _ {y} ^ {k} = { mathcal {L}} circ sum _ {j + k leq (n-1)} p_ {jk} částečné _ {x} ^ {j} částečné _ {y} ^ {k}}$

s operátorem prvního řádu ${ displaystyle { mathcal {L}} = částečné _ {x} - omega částečné _ {y} + p}$ kde ${ displaystyle omega}$ je libovolný jednoduchý kořen charakteristického polynomu

${ displaystyle { mathcal {P}} (t) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk, k} t ^ {nk}, quad { mathcal {P}} ( omega ) = 0.}$

Faktorizace je možná pro každý jednoduchý kořen ${ displaystyle { tilde { omega}}}$ iff

pro ${ displaystyle n = 2 rightarrow l_ {2} = 0,}$

pro ${ displaystyle n = 3 rightarrow l_ {3} = 0, l_ {31} = 0,}$

pro ${ displaystyle n = 4 rightarrow l_ {4} = 0, l_ {41} = 0, l_ {42} = 0,}$

a tak dále. Všechny funkce ${ displaystyle l_ {2}, l_ {3}, l_ {31}, l_ {4}, l_ {41}, l_ {42}, ...}$ jsou známé funkce, například

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

${ displaystyle l_ {3} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9},}$

${ displaystyle l_ {31} = a_ {01} - { mathcal {L}} (p_ {8}) + p_ {3} p_ {8} + p_ {2} p_ {9},}$

a tak dále.

Teorém Všechny funkce

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6}, l_ {3} = a_ {00} - { mathcal { L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9}, l_ {31}, ....}$

jsou invarianty pod transformacemi měřidla.

Definice Invarianty ${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6}, l_ {3} = a_ {00} - { mathcal { L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9}, l_ {31}, .....}$ jsou nazývány generalizované invarianty bivariačního operátora libovolného pořadí.

V konkrétním případě bivariačního hyperbolického operátoru jsou jeho zobecněné invaranty se shodují s Laplaceovými invarianty (vidět Laplaceův invariant ).

Důsledek Pokud operátor ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$ je faktorizovatelný, pak jsou také faktorizovatelné aloperátory rovnocenné.

Ekvivalentní operátory lze snadno vypočítat:

${ displaystyle e ^ {- varphi} částečné _ {x} e ^ { varphi} = částečné _ {x} + varphi _ {x}, quad e ^ {- varphi} částečné _ { y} e ^ { varphi} = částečné _ {y} + varphi _ {y},}$

${ displaystyle e ^ {- varphi} částečné _ {x} částečné _ {y} e ^ { varphi} = e ^ {- varphi} částečné _ {x} e ^ { varphi} e ^ {- varphi} částečné _ {y} e ^ { varphi} = ( částečné _ {x} + varphi _ {x}) circ ( částečné _ {y} + varphi _ {y}) }$

a tak dále. Některé příklady jsou uvedeny níže:

${ displaystyle A_ {1} = částečné _ {x} částečné _ {y} + x částečné _ {x} + 1 = částečné _ {x} ( částečné _ {y} + x), quad l_ {2} (A_ {1}) = 1-1-0 = 0;}$

${ displaystyle A_ {2} = částečné _ {x} částečné _ {y} + x částečné _ {x} + částečné _ {y} + x + 1, quad A_ {2} = e ^ { -x} A_ {1} e ^ {x}; quad l_ {2} (A_ {2}) = (x + 1) -1-x = 0;}$

${ displaystyle A_ {3} = částečné _ {x} částečné _ {y} + 2x částečné _ {x} + (y + 1) částečné _ {y} +2 (xy + x + 1), quad A_ {3} = e ^ {- xy} A_ {2} e ^ {xy}; quad l_ {2} (A_ {3}) = 2 (x + 1 + xy) -2-2x (y +1) = 0;}$

${ displaystyle A_ {4} = částečné _ {x} částečné _ {y} + x částečné _ {x} + ( cos x + 1) částečné _ {y} + x cos x + x + 1, quad A_ {4} = e ^ {- sin x} A_ {2} e ^ { sin x}; quad l_ {2} (A_ {4}) = 0.}$

Přemístit

Faktorizace operátoru je prvním krokem na cestě řešení odpovídající rovnice. Ale pro řešení potřebujeme že jo faktory a konstrukty BK-faktorizace vlevo, odjet faktory, které lze snadno sestavit. Na druhé straně je existence určitého pravého faktoru LPDO ekvivalentní existenci odpovídajícího levého faktoru přemístit tohoto operátora.

DefiniceProvedení ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t}}$ operátora${ displaystyle { mathcal {A}} = součet _ { alfa} částečné ^ { alfa}, qquad částečné ^ { alfa} = částečné _ {1} ^ { alfa _ {1} } cdots částečné _ {n} ^ { alpha _ {n}}.}$je definován jako${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} u = sum (-1) ^ {| alpha |} částečné ^ { alpha} (a _ { alpha} u).}$a totožnost${ displaystyle částečné ^ { gamma} (uv) = součet { binom { gamma} { alfa}} částečné ^ { alfa} u, částečné ^ { gama - alfa} v}$to naznačuje${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} = součet (-1) ^ {| alpha + beta |} { binom { alpha + beta} { alpha}} ( částečné ^ { beta} a _ { alpha + beta}) částečné ^ { alpha}.}$

Nyní jsou koeficienty

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} = součet { tilde {a}} _ { alpha} částečné ^ { alfa},}$${ displaystyle { tilde {a}} _ { alpha} = součet (-1) ^ {| alpha + beta |} { binom { alpha + beta} { alpha}} částečné ^ { beta} (a _ { alpha + beta}).}$

se standardní konvencí pro binomické koeficienty v několika proměnných (viz Binomický koeficient ), např. ve dvou proměnných

${ displaystyle { binom { alpha} { beta}} = { binom {( alpha _ {1}, alpha _ {2})} {( beta _ {1}, beta _ {2 })}} = { binom { alpha _ {1}} { beta _ {1}}} , { binom { alpha _ {2}} { beta _ {2}}}.}$

Zejména pro provozovatele ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2}}$ koeficienty jsou${ displaystyle { tilde {a}} _ {jk} = a_ {jk}, quad j + k = 2; { tilde {a}} _ {10} = - a_ {10} +2 částečný _ {x} a_ {20} + částečné _ {y} a_ {11}, { tilde {a}} _ {01} = - a_ {01} + částečné _ {x} a_ {11} +2 částečné _ {y} a_ {02},}$

${ displaystyle { tilde {a}} _ {00} = a_ {00} - částečné _ {x} a_ {10} - částečné _ {y} a_ {01} + částečné _ {x} ^ { 2} a_ {20} + částečné _ {x} částečné _ {x} a_ {11} + částečné _ {y} ^ {2} a_ {02}.}$

Například operátor

${ displaystyle částečné _ {xx} - částečné _ {yy} + y částečné _ {x} + x částečné _ {y} + { frac {1} {4}} (y ​​^ {2} - x ^ {2}) - 1}$

je faktorizovatelný jako

${ displaystyle { big [} částečné _ {x} + částečné _ {y} + { tfrac {1} {2}} (yx) { big]} , { big [} ... { big]}}$

a jeho transpozice ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {1} ^ {t}}$ je faktorizovatelný pak jako${ displaystyle { big [} ... { big]} , { big [} částečné _ {x} - částečné _ {y} + { tfrac {1} {2}} (y ​​+ x) { big]}.}$

Viz také

• Parciální derivace
• Invariant (matematika)
• Invariantní teorie
• Charakteristický polynom

Poznámky

Reference

• J. Weiss. Bäcklundova transformace a vlastnost Painlevé. [1] J. Math. Phys. 27, 1293-1305 (1986).
• R. Beals, E. Kartashova. Konstruktivní factoring lineárních parciálních diferenciálních operátorů ve dvou proměnných. Teor. Matematika. Phys. 145(2), str. 1510-1523 (2005)
• E. Kartashova. Hierarchie zobecněných invariantů pro lineární parciální diferenciální operátory. Teor. Matematika. Phys. 147(3), str. 839-846 (2006)
• E. Kartashova, O. Rudenko. Invariantní forma BK-faktorizace a její aplikace. Proc. GIFT-2006, str. 225-241, ed.: J. Calmet, R. W. Tucker, Karlsruhe University Press (2006); arXiv