Tannerysova věta - Tannerys theorem - Wikipedia

tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Listopadu 2018)

V matematické analýze Koželužna věta poskytuje dostatečné podmínky pro záměna limitních a nekonečných součtových operací. Je pojmenován po Jules Tannery.^[1]

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle S_ {n} = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (n)}$ a předpokládejme to ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {k} (n) = b_ {k}}$. Li ${ displaystyle | a_ {k} (n) | leq M_ {k}}$ a ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} M_ {k} < infty}$, pak ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} S_ {n} = součet _ {k = 0} ^ { infty} b_ {k}}$.^[2][3]

Důkazy

Tanneryho věta vyplývá přímo z Lebesgueovy dominující věta o konvergenci aplikován na sekvenční prostor ℓ¹.

Lze také předložit základní důkaz.^[3]

Příklad

Tanneryho teorém lze použít k prokázání binomického limitu a nekonečné řady charakterizace exponenciálu ${ displaystyle e ^ {x}}$jsou ekvivalentní. Všimněte si, že

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n} = lim _ {n rightarrow infty} sum _ { k = 0} ^ {n} {n zvolte k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}}}.}$

Definovat ${ displaystyle a_ {k} (n) = {n zvolit k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}}}}$. To máme ${ displaystyle | a_ {k} (n) | leq { frac {| x | ^ {k}} {k!}}}$ a to ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {| x | ^ {k}} {k!}} = e ^ {| x |} < infty}$, takže Tanneryho věta může být použita a

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} sum _ {k = 0} ^ { infty} {n vyberte k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} lim _ {n rightarrow infty} {n vyberte k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}} = e ^ {x}.}$

Reference

externí odkazy

Zevšeobecnění Tanneryho věty