Iterovaný limit - Iterated limit

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (srpen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v počet proměnných, an iterovaný limit je výrazem formy

${ displaystyle lim _ {y to q} { big (} lim _ {x to p} f (x, y) { big)}. ,}$

Jeden má výraz, jehož hodnota závisí na alespoň dvou proměnných, jeden bere limit, protože jedna ze dvou proměnných se blíží k určitému číslu, získává výraz, jehož hodnota závisí pouze na druhé proměnné, a jeden bere limit, protože ostatní proměnné se blíží nějaké číslo. To není definováno stejným způsobem jako limit

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (p, q)} f (x, y), ,}$

což není iterovaný limit. Říct, že tohle druhé limit funkce více než jedné proměnné se rovná určitému číslu L znamená, že ƒ(X, y) lze vytvořit co nejblíže L podle potřeby vytvořením bodu (X, y) dostatečně blízko k bodu (p, q). Nezahrnuje to nejprve přijetí jednoho limitu a poté druhého.

Protiklady

Není to ve všech případech pravda

${ Displaystyle lim _ {(x, y) až (p, q)} f (x, y) = lim _ {x až p} lim _ {y až q} f (x, y ) = lim _ {y to q} lim _ {x to p} f (x, y).}$

(1)

Mezi standardní protiklady patří ty, ve kterých

${ displaystyle f (x, y) = { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

a

${ displaystyle f (x, y) = { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$^[1]

a (p, q) = (0, 0).

V prvním příkladu se hodnoty dvou iterovaných limitů navzájem liší:

${ displaystyle lim _ {y až 0} vlevo ( lim _ {x až 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo ) = lim _ {y až 0} 0 = 0,}$

a

${ displaystyle lim _ {x až 0} vlevo ( lim _ {y až 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo ) = lim _ {x až 0} 1 = 1.}$^[2]

Ve druhém příkladu jsou dva iterované limity rovny sobě navzdory skutečnosti, že limit jako (X, y) → (0, 0) neexistuje:

${ displaystyle lim _ {x až 0} vlevo ( lim _ {y až 0} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo) = lim _ {x to 0} 0 = 0}$

a

${ displaystyle lim _ {y až 0} vlevo ( lim _ {x až 0} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo) = lim _ {y to 0} 0 = 0,}$

ale limit jako (X, y) → (0, 0) podél čáry y = X je jiný:

${ displaystyle lim _ {{ Big (} (x, y) až (0,0) ,: , y = x { Big)}} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = lim _ {x až 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + x ^ {2}}} = { frac {1} { 2}}.}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (0,0)} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

neexistuje.

Dostatečný stav

Postačující podmínka pro (1) držet je Moore-Osgoodova věta: Pokud ${ displaystyle lim _ {x až p} f (x, y)}$ pro každý existuje bodově y odlišný od q a pokud ${ displaystyle lim _ {y až q} f (x, y)}$ konverguje rovnoměrně pro X≠p pak existuje dvojitý limit a iterované limity, které jsou stejné.^[3]

Viz také

• Výměna omezujících operací

Reference