Iterovaný limit - Iterated limit

v počet proměnných, an iterovaný limit je výrazem formy

Jeden má výraz, jehož hodnota závisí na alespoň dvou proměnných, jeden bere limit, protože jedna ze dvou proměnných se blíží k určitému číslu, získává výraz, jehož hodnota závisí pouze na druhé proměnné, a jeden bere limit, protože ostatní proměnné se blíží nějaké číslo. To není definováno stejným způsobem jako limit

což není iterovaný limit. Říct, že tohle druhé limit funkce více než jedné proměnné se rovná určitému číslu L znamená, že ƒ(Xy) lze vytvořit co nejblíže L podle potřeby vytvořením bodu (Xy) dostatečně blízko k bodu (pq). Nezahrnuje to nejprve přijetí jednoho limitu a poté druhého.

Protiklady

Není to ve všech případech pravda

 

 

 

 

(1)

Mezi standardní protiklady patří ty, ve kterých

a

[1]

a (pq) = (0, 0).

V prvním příkladu se hodnoty dvou iterovaných limitů navzájem liší:

a

[2]


Ve druhém příkladu jsou dva iterované limity rovny sobě navzdory skutečnosti, že limit jako (Xy) → (0, 0) neexistuje:

a

ale limit jako (Xy) → (0, 0) podél čáry y = X je jiný:

Z toho vyplývá, že

neexistuje.

Dostatečný stav

Postačující podmínka pro (1) držet je Moore-Osgoodova věta: Pokud pro každý existuje bodově y odlišný od q a pokud konverguje rovnoměrně pro Xp pak existuje dvojitý limit a iterované limity, které jsou stejné.[3]

Viz také

Reference

  1. ^ Stewart, James (2008). „Kapitola 15.2 Limity a kontinuita“. Počet proměnných (6. vydání). str. 907–909. ISBN  0495011630.
  2. ^ I když to není špatné, měli byste věnovat pozornost skutečnosti
    .
    (Ale to je menší problém, protože si to brzy rozmyslíme .)
  3. ^ Taylor, Angus E. (2012). Obecná teorie funkcí a integrace. Dover Books on Mathematics Series. str. 140. ISBN  9780486152141.