Croftonův vzorec - Crofton formula

v matematika, Croftonův vzorec, pojmenoval podle Morgan Crofton (1826–1915), je klasickým výsledkem integrální geometrie vztahující se délku křivky k očekávaný kolikrát „náhodný“ čára protíná to.

Prohlášení

Předpokládat ${displaystyle gamma}$ je napravitelný rovinná křivka. Vzhledem k orientované linii ℓ, nechť ${displaystyle n_ {gamma}}$(ℓ) je počet bodů, při kterých ${displaystyle gamma}$ a ℓ protínají. Můžeme parametrizovat obecný řádek ℓ podle směru ${displaystyle varphi}$ ve kterém ukazuje a jeho podepsaná vzdálenost ${displaystyle p}$ z původ. Croftonův vzorec vyjadřuje délka oblouku křivky ${displaystyle gamma}$ ve smyslu integrální přes prostor všech orientovaných čar:

${displaystyle operatorname {length} (gamma) = {frac {1} {4}} iint n_ {gamma} (varphi, p); dvarphi; dp.}$

The diferenciální forma

${displaystyle dvarphi wedge dp}$

je neměnný pod tuhé pohyby, jedná se tedy o přirozené integrační opatření pro mluvení o „průměrném“ počtu křižovatek. Pravá strana ve vzorci Crofton se někdy nazývá Favardova délka.^[1]

Důkazní skica

Obě strany Croftonova vzorce jsou přísada přes zřetězení křivek, takže stačí prokázat vzorec pro jeden úsečku. Protože pravá strana nezávisí na umístění úsečky, musí se rovnat určité funkci délky úsečky. Protože vzorec je opět aditivní přes zřetězení úseček, integrál musí být konstantní krát délka úsečky. Zbývá pouze určit faktor 1/4; toto je snadno proveditelné výpočtem obou stran, když γ je jednotkový kruh.

Jiné formy

Prostor orientovaných čar je dvojitý Pokrýt prostoru neorientovaných čar. Croftonův vzorec se často uvádí jako odpovídající hustota ve druhém prostoru, kde numerický faktor není 1/4, ale 1/2. Protože se protíná konvexní křivka skoro každý čáru buď dvakrát, nebo vůbec, lze určit neorientovaný Croftonův vzorec pro konvexní křivky bez numerických faktorů: míra množiny přímek, které protínají konvexní křivku, se rovná její délce.

Croftonův vzorec se zobecňuje na všechny Riemannian povrch; integrál se poté provede přirozenou mírou v prostoru geodetika.

Aplikace

Croftonův vzorec přináší mimo jiné elegantní důkazy o následujících výsledcích:

• Mezi dvěma vnořenými, konvexními, uzavřenými křivkami je vnitřní kratší.
• Barbierova věta: Každý křivka konstantní šířky w má obvod πw.
• The izoperimetrická nerovnost: Mezi všemi uzavřenými křivkami s daným obvodem má kruh jedinečnou maximální plochu.
• The konvexní obal každé ohraničené usměrnitelné uzavřené křivky C má obvod maximálně délky C, s rovností, pouze když C je již konvexní křivka.

Viz také

• Buffonovy nudle
• The Radonová transformace lze chápat jako teoretické zobecnění míry Cauchy-Croftonova vzorce.
• Steinhausův longimetr

Reference

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometrie a kulečník. AMS. s. 36–40. ISBN  0-8218-3919-5.
• Santalo, L. A. (1953). Úvod do integrální geometrie. s. 12–13, 54. LCC  QA641.S3.

externí odkazy

• Stránka vzorce Cauchy – Crofton s ukázkovými applety