Axiom Paschs - Paschs axiom - Wikipedia

Nesmí být zaměňována s Paschova věta.

v geometrie, Paschův axiom je prohlášení v rovinná geometrie, implicitně používán Euklid, které nelze odvodit z postuláty jak jim dal Euklid. Jeho zásadní roli objevil Moritz Pasch v roce 1882.[1]

Prohlášení

Dvě čáry (černé), které splňují stranu trojúhelníku vnitřně a setkání s ostatními stranami vnitřně a navenek

Axiom uvádí, že[2]

Paschův axiom — Nechť A, B, C jsou tři body, které neleží na přímce, a nechť A být přímka v rovině ABC, která nesplňuje žádný z bodů A, B, C. Pokud je přímka A prochází bodem segmentu AB, prochází také bodem segmentu AC nebo bodem segmentu BC.

Skutečnost, že segmenty AC a BC nejsou protínány přímkou A je prokázáno v dodatku I, 1, který napsal P. Bernays.[3]

Modernější verze tohoto axiomu je následující:[4]

Modernější verze Paschova axiomu — V letadlo, Pokud čára protíná jednu stranu a trojúhelník vnitřně pak protíná přesně jednu druhou stranu vnitřně a třetí strana navenek, pokud neprochází vrcholem trojúhelníku.

(V případě, že třetí strana je rovnoběžná s naší přímkou, počítáme „křižovatku v nekonečnu“ jako vnější.) Více neformální verze axiomu je často vidět:

Neformální verze Paschova axiomu — Pokud se čára, která neprochází žádným vrcholem trojúhelníku, setká s jednou stranou trojúhelníku, pak se setká s druhou stranou.

Dějiny

Pasch publikoval tento axiom v roce 1882,[1] a ukázal, že Euklidovy axiomy byly neúplné. Axiom byl součástí Paschova přístupu k zavedení konceptu řádu do rovinné geometrie.

Ekvivalence

V jiných způsobech léčby elementární geometrie, používající různé sady axiomů, lze Paschův axiom dokázat jako větu;[5] je to důsledek roviny oddělování rovin, když je bráno jako jeden z axiomů. Hilbert používá Paschův axiom ve svém axiomatickém zpracování Euklidovská geometrie.[6] Vzhledem k zbývajícím axiomům v Hilbertově systému lze ukázat, že Paschův axiom je logicky ekvivalentní s axiomem rovinného oddělení.[7]

Hilbertovo použití Paschova axiomu

David Hilbert používá ve své knize Paschův axiom Základy geometrie který poskytuje axiomatický základ pro Euklidovská geometrie. V závislosti na vydání je číslován buď II.4, nebo II.5.[6] Jeho prohlášení je uvedeno výše.

V Hilbertově léčbě se tento axiom objevuje v části týkající se axiomů řádu a označuje se jako a rovina axiomu řádu. Vzhledem k tomu, že frází axiomu nevyjadřuje strany trojúhelníku (považují se spíše za úsečky než za úsečky), není třeba hovořit o vnitřních a vnějších průsečících úsečky A se stranami trojúhelníku ABC.

Upozornění

Paschův axiom je odlišný od Paschova věta což je výrok o pořadí čtyř bodů na přímce. V literatuře však existuje mnoho případů, kdy se Paschův axiom označuje jako Paschova věta. Pozoruhodná instance tohoto je Greenberg (1974, str. 67).

Paschův axiom by neměl být zaměňován s axiomem Veblen-Young pro projektivní geometrie,[8] což lze uvést jako:

Veblen-Youngův axiom pro projektivní geometrii —  Pokud čára protíná dvě strany trojúhelníku, protíná také třetí stranu.

Ve vyjádření axiomu Veblen-Young, který se týká pouze vlastnost dopadu setkání řádků. V projektivní geometrii není koncept mezičasu (vyžadovaný k definování interního a externího) platný a všechny linie se setkávají (problém paralelních linií tedy nevzniká).

Poznámky

  1. ^ A b Pasch 1912, str. 21
  2. ^ Toto je převzato z Ungerova překladu 10. vydání Hilberta Základy geometrie a je očíslován II.4.
  3. ^ Hilbert 1999, str. 200, překlad Unger.
  4. ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, str. 7
  5. ^ Wylie, Jr. 1964, str. 100
  6. ^ A b axiom II.5 u Hilberta Základy geometrie (Townsendův překlad uvedený níže), v autorizovaném anglickém překladu 10. vydání přeloženého L. Ungerem (rovněž zveřejněném veřejným soudem) je očíslován II.4. Mezi těmito překlady je několik rozdílů.
  7. ^ k tomu jsou potřeba pouze Hilbertovy axiomy I.1,2,3 a II.1,2,3. Důkaz je uveden v Faber (1983 116-117).
  8. ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, str. 6

Reference

  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektivní geometrie: od základů po aplikace, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-48364-3, PAN  1629468
  • Faber, Richard L. (1983), Základy euklidovské a neeuklidovské geometrie, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN  978-0-8247-1748-3
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Euklidovské a neeuklidovské geometrie: vývoj a historie (1. vyd.), San Francisco: W.H. Freemane, ISBN  978-0-7167-0454-6
    • Greenberg, Marvin Jay (2007), Euklidovské a neeuklidovské geometrie: vývoj a historie (4. vydání), San Francisco: W.H. Freemane, ISBN  978-0-7167-9948-1
  • Hilbert, David (1903), Grundlagen der Geometrie (v němčině), Lipsko: B.G. Teubner
    • Hilbert, David (1950) [1902], Základy geometrie (PDF), překládal Townsend, E. J., LaSalle, IL: Open Court Publishing
    • Hilbert, David (1999) [1971], Základy geometrie, překládal Unger, Leo (2. vyd.), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN  978-0-87548-164-7
  • Moise, Edwin (1990), Elementární geometrie z pokročilého hlediska (Třetí vydání), Addison-Wesley, Reading, MA, str. 74, ISBN  978-0-201-50867-3
  • Pambuccian, Victor (2011), „Axiomatika uspořádané geometrie: I. Uspořádané mezery dopadu.“, Expositiones Mathematicae (29): 24–66, doi:10.1016 / j.exmath.2010.09.004
  • Pasch, Moritz (1912) [první vydání 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (v němčině) (2. vyd.), Lipsko: B.G. Teubner
  • Wylie, Jr., Clarence Raymond (1964), Základy geometrie, New York: McGraw-Hill, ISBN  978-0-070-72191-3
    • Wylie, Jr., C.R. (2009) [1964], Základy geometrie, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-47214-0

externí odkazy