Flexibilní mnohostěn - Flexible polyhedron

Steffenův mnohostěn, nejjednodušší možný non-self-křížení flexibilní mnohostěn

v geometrie, a flexibilní mnohostěn je polyedrický povrch bez jakýchkoli hraničních hran, jejichž tvar lze průběžně měnit při zachování tvarů všech jeho ploch beze změny. The Cauchyova věta o rigiditě ukazuje, že v dimenzi 3 takový mnohostěn nemůže být konvexní (to platí i ve vyšších dimenzích).

První příklady flexibilních mnohostěnů, nyní nazývaných Bricard octahedra, byly objeveny uživatelem Raoul Bricard  (1897 ). Jsou to protínající se povrchy izometrické do osmistěn. První příklad pružného nesekujícího povrchu v , Connelly koule, byl objeven uživatelem Robert Connelly  (1977 ). Steffenův mnohostěn je další non-self-protínající flexibilní mnohostěn odvozený z Bricardova oktaedry.[1]

Měchův dohad

Na konci 70. let Connelly a D. Sullivan formuloval měch dohad s uvedením, že hlasitost pružného mnohostěnu je neměnný při ohýbání. Tato domněnka byla prokázána pro mnohostěn homeomorfní do a koule od I. Kh. Sabitov (1995 )použitím teorie eliminace, a poté se ukázal jako obecný orientovatelný 2-dimenzionální polyedrické povrchy Robert Connelly, I. Sabitov a Anke Walz (1997 ). Důkaz se rozšiřuje Piero della Francesca vzorec pro objem čtyřstěnu na vzorec pro objem libovolného mnohostěnu. Rozšířený vzorec ukazuje, že objem musí být kořenem polynomu, jehož koeficienty závisí pouze na délce hran mnohostěnů. Vzhledem k tomu, že se délky okrajů nemohou měnit, jak se mnohostěn ohýbá, objem musí zůstat na jednom z konečně mnoha kořenů polynomu, místo aby se neustále měnil.[2]

Nůžková kongruence

Connelly se domníval, že Dehn invariant pružného mnohostěnu je neměnný při ohýbání. Toto bylo známé jako silné domněnky nebo (poté, co bylo prokázáno v roce 2018) věta o silném měchu.[3]Celkem střední zakřivení pružného mnohostěnu, definovaného jako součet součinů délek hran s vnějšími vzepětí, je funkcí Dehnova invariantu, o kterém je také známo, že zůstává konstantní, zatímco mnohostěn se ohýbá.[4]

Zobecnění

Flexibilní 4-polytopes ve 4-dimenzionálním euklidovském prostoru a 3-dimenzionálním hyperbolický prostor byly studovány uživatelem Hellmuth Stachel  (2000 ). V rozměrech , flexibilní polytopy byly postaveny Gaifullin (2014).

Viz také

Reference

Poznámky

  1. ^ Alexandrov (2010).
  2. ^ Demaine & O'Rourke (2007).
  3. ^ Gaĭfullin & Ignashchenko (2018).
  4. ^ Alexander (1985).

Primární zdroje

  • Alexander, Ralph (1985), "Lipschitzian mapování a celkové střední zakřivení mnohostěnných povrchů. I", Transakce Americké matematické společnosti, 288 (2): 661–678, doi:10.2307/1999957, JSTOR  1999957, PAN  0776397.
  • Alexandrov, Victor (2010), „The Dehn invariants of the Bricard octahedra“, Journal of Geometry, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989, doi:10.1007 / s00022-011-0061-7, PAN  2823098.
  • Bricard, R. (1897), „Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé“, J. Math. Pures Appl., 5 (3): 113–148, archivovány od originál dne 2012-02-16, vyvoláno 2008-07-27
  • Connelly, Robert (1977), „Protiklad k domněnce tuhosti pro mnohostěn“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 47 (47): 333–338, doi:10.1007 / BF02684342, ISSN  1618-1913, PAN  0488071
  • Connelly, Robert; Sabitov, I .; Walz, Anke (1997), „Domněnka měchů“, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 38 (1): 1–10, ISSN  0138-4821, PAN  1447981
  • Gaifullin, Alexander A. (2014), „Flexibilní křížové polytopy v prostorech s konstantním zakřivením“, Sborník Steklovova matematického ústavu, 286 (1): 77–113, arXiv:1312.7608, doi:10.1134 / S0081543814060066, PAN  3482593.
  • Gaĭfullin, A. A .; Ignashchenko, L. S. (2018), „Dehnův invariant a nůžková kongruence pružných mnohostěnů“, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi:10.1134 / S0371968518030068, ISBN  5-7846-0147-4, PAN  3894642.
  • Sabitov, I. Kh. (1995), „K problému invariance objemu deformovatelného mnohostěnu“, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 50 (2): 223–224, ISSN  0042-1316, PAN  1339277
  • Stachel, Hellmuth (2006), „Flexibilní osmistěn v hyperbolickém prostoru“, A. Prékopa; et al. (eds.), Neeuklidovské geometrie (pamětní svazek Jánose Bolyai), Matematika a její aplikace, 581, New York: Springer, s. 209–225, CiteSeerX  10.1.1.5.8283, doi:10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN  978-0-387-29554-1, PAN  2191249.
  • Stachel, Hellmuth (2000), „Flexibilní křížové polytopy v euklidovském čtyřprostoru“ (PDF), Časopis pro geometrii a grafiku, 4 (2): 159–167, PAN  1829540.

Sekundární zdroje

externí odkazy