Howsonův majetek - Howson property

V matematickém předmětu teorie skupin, Howsonův majetek, také známý jako konečně generovaná vlastnost průniku (FGIP), je vlastnost skupiny, která říká, že průnik libovolných dvou konečně generovaných podskupin této skupiny je opět definitivně generován. Vlastnost je pojmenována po Albert G. Howson který to v článku z roku 1954 stanovil skupiny zdarma mít tuto vlastnost.^[1]

Formální definice

A skupina ${ displaystyle G}$ se říká, že má Howsonův majetek pokud pro každého definitivně generováno podskupiny ${ displaystyle H, K}$ z ${ displaystyle G}$ jejich křižovatka ${ displaystyle H cap K}$ je opět definitivně generovanou podskupinou ${ displaystyle G}$.^[2]

Příklady a příklady

• Každá konečná skupina má vlastnost Howson.
• Skupina ${ displaystyle G = F (a, b) krát mathbb {Z}}$ nemá vlastnost Howson. Konkrétně pokud ${ displaystyle t}$ je generátor ${ displaystyle mathbb {Z}}$ faktor ${ displaystyle G}$, pak pro ${ displaystyle H = F (a, b)}$ a ${ displaystyle K = langle a, tb rangle leq G}$, jeden má ${ displaystyle H cap K = operatorname {ncl} _ {F (a, b)} (a)}$. Proto, ${ displaystyle H cap K}$ není definitivně generován.^[3]
• Li ${ displaystyle Sigma}$ je kompaktní povrch než základní skupina ${ displaystyle pi _ {1} ( Sigma)}$ z ${ displaystyle Sigma}$ má vlastnost Howson.^[4]
• A free-by- (nekonečná cyklická skupina) ${ displaystyle F_ {n} rtimes mathbb {Z}}$, kde ${ displaystyle n geq 2}$, nikdy nemá vlastnost Howson.^[5]
• S ohledem na nedávný důkaz Prakticky Hakenova domněnka a Prakticky vláknitá domněnka pro 3-potrubí, dříve zjištěné výsledky znamenají, že pokud M je tedy uzavřený hyperbolický 3-potrubí ${ displaystyle pi _ {1} (M)}$ nemá vlastnost Howson.^[6]
• Mezi třemi různými skupinami existuje mnoho příkladů, které mají a nemají vlastnost Howson. 3-varietní skupiny s vlastnostmi Howson zahrnují základní skupiny hyperbolických 3-variet s nekonečným objemem, 3-varietní skupiny založené na Sol a Nula geometrie, stejně jako 3-rozmanité skupiny získané nějakým spojeným součtem a JSJ rozklad stavby.^[6]
• Pro každého ${ displaystyle n geq 1}$ the Skupina Baumslag – Solitar ${ displaystyle BS (1, n) = langle a, t mid t ^ {- 1} at = a ^ {n} rangle}$ má vlastnost Howson.^[3]
• Li G je skupina, kde je každá konečně vygenerovaná podskupina Noetherian pak G má vlastnost Howson. Zejména všechny abelianské skupiny a všechno nilpotentní skupiny mít vlastnost Howson.
• Každá polycyklická skupina má konečnou vlastnost Howson.^[7]
• Li ${ displaystyle A, B}$ jsou skupiny s majetkem Howson, pak jejich bezplatný produkt ${ displaystyle A ast B}$ má také vlastnost Howson.^[8] Obecněji řečeno, vlastnost Howson je zachována při užívání sloučených bezplatných produktů a Prodloužení HNN skupin s vlastností Howson přes konečné podskupiny.^[9]
• Obecně je vlastnost Howson poměrně citlivá na sloučené produkty a rozšíření HNN přes nekonečné podskupiny. Zejména pro skupiny zdarma ${ displaystyle F, F '}$ a nekonečná cyklická skupina ${ displaystyle C}$, sloučený bezplatný produkt ${ displaystyle F ast _ {C} F '}$ má vlastnost Howson právě tehdy ${ displaystyle C}$ je maximální cyklická podskupina v obou ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle F '}$.^[10]
• A pravoúhlá skupina Artin ${ displaystyle A ( Gamma)}$ má vlastnost Howson právě tehdy, když všechny připojené komponenty ${ displaystyle Gamma}$ je kompletní graf.^[11]
• Omezit skupiny mít vlastnost Howson.^[12]
• Není známo, zda ${ displaystyle SL (3, mathbb {Z})}$ má vlastnost Howson.^[13]
• Pro ${ displaystyle n geq 4}$ skupina ${ displaystyle SL (n, mathbb {Z})}$ obsahuje podskupinu isomorfní s ${ displaystyle F (a, b) krát F (a, b)}$ a nemá vlastnost Howson.^[13]
• Mnoho malé storno skupiny a Skupiny coxeterů, které splňují podmínku `` zmenšení obvodu`` na jejich prezentaci, jsou lokálně kvazikonvexní hyperbolické skupiny slov a proto mají vlastnost Howson.^[14][15]
• Skupiny jednoho relé ${ displaystyle G = langle x_ {1}, dots, x_ {k} mid r ^ {n} = 1 rangle}$, kde ${ displaystyle n geq | r |}$ jsou také místně kvazikonvexní hyperbolické skupiny slov a proto mají vlastnost Howson.^[16]
• The Grigorchukova skupina G mezilehlého růstu nemá vlastnost Howson.^[17]
• Vlastnost Howson není a první objednávka vlastnost, to je vlastnost Howson, nelze charakterizovat kolekcí prvního řádu skupinový jazyk vzorce.^[18]
• Zdarma pro-p skupina ${ displaystyle F}$ vyhovuje topologické verzi vlastnosti Howson: If ${ displaystyle H, K}$ jsou topologicky definitivně generované uzavřené podskupiny ${ displaystyle F}$ pak jejich křižovatka ${ displaystyle H cap K}$ je topologicky definitivně generováno.^[19]
• Pro všechna pevná celá čísla ${ Displaystyle m geq 2, n geq 1, d geq 1,}$ `` obecný`` ${ displaystyle m}$-generátor ${ displaystyle n}$-relator skupina ${ displaystyle G = langle x_ {1}, dots x_ {m} | r_ {1}, dots, r_ {n} rangle}$ má vlastnost, že pro všechny ${ displaystyle d}$-generované podskupiny ${ displaystyle H, K leq G}$ jejich křižovatka ${ displaystyle H cap K}$ je opět definitivně generováno.^[20]
• The produkt věnce ${ displaystyle mathbb {Z} wr mathbb {Z}}$ nemá vlastnost Howson.^[21]

Viz také

• Hanna Neumann domněnka

Reference