Hopf rozdvojení - Hopf bifurcation - Wikipedia

Složitá vlastní čísla libovolné mapy (tečky). V případě Hopfovy bifurkace protínají imaginární osu dva komplexní konjugované vlastní hodnoty.

V matematická teorie bifurkací, a Hopf rozdvojení je kritický bod kde se přepíná stabilita systému a periodické řešení vzniká.^[1] Přesněji řečeno, jedná se o místní rozdvojení, ve kterém a pevný bod a dynamický systém ztrácí stabilitu jako pár komplexní konjugát vlastní čísla —Z toho linearizace kolem pevného bodu - protíná složité letadlo imaginární osa. Za rozumně obecných předpokladů o dynamickém systému malá amplituda mezní cyklus větve z pevného bodu.

Hopfova bifurkace je také známá jako a Poincaré – Andronov – Hopfova bifurkace, pojmenoval podle Henri Poincaré, Aleksandr Andronov a Eberhard Hopf.

Přehled

Superkritická a podkritická Hopfova bifurkace

Dynamika bifurkace Hopf se blíží

{ displaystyle lambda = 0}

. Možné trajektorie v červené barvě, stabilní struktury v tmavě modré barvě a nestabilní struktury v přerušované světle modré barvě. Superkritická bifurkace Hopf: 1a) stabilní pevný bod 1b) nestabilní pevný bod, stabilní mezní cyklus 1c) dynamika fázového prostoru. Subkritická bifurkace Hopf: 2a) stabilní pevný bod, nestabilní mezní cyklus 2b) nestabilní pevný bod 2c) dynamika fázového prostoru.

{ displaystyle omega}

určuje úhlovou dynamiku a tím i směr vinutí pro trajektorie.

Limitní cyklus je orbitálně stabilní, pokud se konkrétní veličina nazývá první Lyapunovův koeficient je negativní a bifurkace je nadkritická. Jinak je nestabilní a rozdvojení je podkritické.

The normální forma Hopfova bifurkace je:

{ displaystyle { frac {dz} {dt}} = z (( lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

kde z, b jsou oba složité a λ je parametr.

Psát si: ${ displaystyle b = alpha + i beta. ,}$ Číslo α se nazývá první Lyapunov součinitel.

Li α je negativní, pak existuje stabilní mezní cyklus pro λ > 0:

{ displaystyle z (t) = re ^ {i omega t} ,}

kde

{ displaystyle r = { sqrt {- lambda / alpha}} { text {a}} omega = 1 + beta r ^ {2}. ,}

Poté se nazývá rozdvojení superkritický.

Li α je pozitivní, pak existuje nestabilní limitní cyklus pro λ <0. Bifurkace se nazývá podkritický.

Příklad

Hopfova bifurkace v systému Selkov (viz článek). Jak se parametry mění, a mezní cyklus (modře) se jeví jako stabilní rovnováha.

Hopf rozdvojení se vyskytuje v Model Lotka – Volterra z interakce predátor-kořist (známý jako paradox obohacování ), Hodgkin – Huxleyův model pro nervovou membránu,^[2] Selkov model glykolýza,^[3] the Belousovova-Zhabotinská reakce, Lorenzův atraktor a Brusselator.

Selkovský model je

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = - x + ay + x ^ {2} y, ~~ { frac {dy} {dt}} = b-ay-x ^ {2} y. }

Vpravo je zobrazen fázový portrét ilustrující Hopfovu bifurkaci v modelu Selkov.^[4]

V systémech železničních vozidel je obzvláště důležitá Hopfova bifurkační analýza. Stabilní pohyb železničního vozidla při nízkých rychlostech běžně přechází na nestabilní při vysokých rychlostech. Jedním z cílů nelineární analýzy těchto systémů je provést analytické zkoumání bifurkace, nelineární boční stability a loveckého chování kolejových vozidel na tečné trati, která využívá Bogoliubovovu metodu.^[5]

Definice bifurkace Hopf

Vzhled nebo zmizení periodické oběžné dráhy lokální změnou vlastností stability pevného bodu je známé jako Hopfova bifurkace. Následující věta funguje pro pevné body s jedním párem konjugované nenulové čistě imaginární vlastní čísla. Udává podmínky, za kterých k tomuto fenoménu bifurkace dochází.

Teorém (viz oddíl 11.2 ^[6]). Nechat ${ displaystyle J_ {0}}$ být Jacobian spojitého parametrického dynamický systém vyhodnocen v ustáleném bodě ${ displaystyle Z_ {e}}$ . Předpokládejme, že všechny vlastní hodnoty ${ displaystyle J_ {0}}$ mít zápornou skutečnou část kromě jednoho konjugovaného nenulového čistě imaginárního páru ${ displaystyle pm i beta}$ . A Hopf rozdvojení vzniká, když tyto dvě vlastní čísla překročí imaginární osu kvůli změně parametrů systému.

Kritérium Routh – Hurwitz

Kritérium Routh – Hurwitz (oddíl I.13 ^[7]) poskytuje nezbytné podmínky, aby došlo k rozdvojení Hopf. Podívejme se, jak lze tento nápad konkrétně využít.^[8]

Série Sturm

Nechat ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, tečky, p_ {k}}$ být Série Sturm spojené s a charakteristický polynom ${ displaystyle P}$ . Mohou být psány ve formě:

{ displaystyle p_ {i} ( mu) = c_ {i, 0} mu ^ {ki} + c_ {i, 1} mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} mu ^ { ki-4} + cdots}

Koeficienty ${ displaystyle c_ {i, 0}}$ pro ${ displaystyle i}$ v ${ displaystyle {1, tečky, k }}$ odpovídají tomu, čemu se říká Hurwitzovy determinanty.^[8] Jejich definice souvisí s přidruženým Hurwitzova matice.

Propozice

Tvrzení 1. Pokud jsou všechny Hurwitzovy determinanty ${ displaystyle c_ {i, 0}}$ jsou pozitivní, snad kromě toho ${ displaystyle c_ {k, 0}}$ pak přidružený Jacobian nemá žádné čisté imaginární vlastní hodnoty.

Tvrzení 2. Pokud všechny Hurwitzovy determinanty ${ displaystyle c_ {i, 0}}$ (pro všechny ${ displaystyle i}$ v ${ displaystyle {0, tečky, k-2 }}$ jsou pozitivní, ${ displaystyle c_ {k-1,0} = 0}$ a ${ displaystyle c_ {k-2,1} <0}$ pak všechna vlastní čísla přidruženého Jacobian mají negativní reálné části kromě čistě imaginárního konjugovaného páru.

Podmínky, které hledáme, aby došlo k Hopfově bifurkaci (viz věta výše) pro parametrický spojitý dynamický systém, jsou dány tímto posledním návrhem.

Příklad

Zvažte klasiku Van der Pol oscilátor psaný obyčejnými diferenciálními rovnicemi:

{ displaystyle left {{ begin {pole} {l} { dfrac {dx} {dt}} = mu (1-y ^ {2}) xy, { dfrac {dy} {dt }} = x. end {pole}} vpravo.}

Jacobská matice spojená s tímto systémem následuje:

{ displaystyle J = { begin {pmatrix} - mu (-1 + y ^ {2}) & - 2 mu yx-1 1 & 0 end {pmatrix}}.}

Charakteristický polynom (v ${ displaystyle lambda}$ ) linearizace v (0,0) se rovná:

{ displaystyle P ( lambda) = lambda ^ {2} - mu lambda +1.}

Koeficienty jsou: ${ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = - mu, a_ {2} = 1}$
Přidružené Série Sturm je:

{ displaystyle { begin {array} {l} p_ {0} ( lambda) = a_ {0} lambda ^ {2} -a_ {2} p_ {1} ( lambda) = a_ {1 } lambda end {pole}}}

The Sturm polynomy lze zapsat jako (zde ${ displaystyle i = 0,1}$ ):

{ displaystyle p_ {i} ( mu) = c_ {i, 0} mu ^ {ki} + c_ {i, 1} mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} mu ^ { ki-4} + cdots}

Výše uvedený návrh 2 říká, že člověk musí mít:

{ displaystyle c_ {0,0} = 1> 0, c_ {1,0} = - mu = 0, c_ {0,1} = - 1 <0.}

Protože 1> 0 a −1 <0 jsou zřejmé, lze usoudit, že u Van der Pol oscilátoru může dojít k Hopfově rozdvojení, pokud ${ displaystyle mu = 0}$ .

Viz také

Reakce - difúze systémy

Reference

^ „Hopf rozdvojení“ (PDF). MIT.
^ Guckenheimer, J .; Labouriau, J.S. (1993), „Bifurkace Hodgkinovy a Huxleyovy rovnice: nový směr“, Bulletin of Mathematical Biology, 55 (5): 937–952, doi:10.1007 / BF02460693, S2CID 189888352.
^ „Selkov Model Wolfram Demo“. [demonstations.wolfram.com]. Citováno 30. září 2012.
^ Podrobné odvození viz Strogatz, Steven H. (1994). Nelineární dynamika a chaos. Addison Wesley. p.205. ISBN 978-0-7382-0453-6.
^ Serajian, Reza (2011). „Účinky setrvačnosti podvozku a těla na nelineární lov dvojkolí rozpoznávaný teorií bifurkace hopf“ (PDF). International Journal of Automotive Engineering. 3 (4): 186–196.
^ Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dynamika a bifurkace. Texty z aplikované matematiky. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
^ Hairer, E .; Norsett, S. P .; Wanner, G. (1993). Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffové problémy (Druhé vydání.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
^ ^A ^b Kahoui, M. E.; Weber, A. (2000). "Rozhodování o Hopfových bifurkacích eliminací kvantifikátoru v architektuře softwarové komponenty". Journal of Symbolic Computation. 30 (2): 161–179. doi:10.1006 / jsco.1999.0353.

Další čtení

Guckenheimer, J .; Myers, M .; Sturmfels, B. (1997). "Výpočet bifurkací Hopf I". Časopis SIAM o numerické analýze. 34 (1): 1–21. CiteSeerX 10.1.1.52.1609. doi:10.1137 / S0036142993253461.
Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dynamika a bifurkace. Texty z aplikované matematiky. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
Hassard, Brian D .; Kazarinoff, Nicholas D .; Wan, Yieh-Hei (1981). Teorie a aplikace bifurkace Hopf. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.
Kuzněcov, Jurij A. (2004). Základy teorie aplikované bifurkace (Třetí vydání.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
Strogatz, Steven H. (1994). Nelineární dynamika a chaos. Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.

externí odkazy

[1] „Hopf rozdvojení“ (PDF). MIT.

[2] Guckenheimer, J .; Labouriau, J.S. (1993), „Bifurkace Hodgkinovy a Huxleyovy rovnice: nový směr“, Bulletin of Mathematical Biology, 55 (5): 937–952, doi:10.1007 / BF02460693, S2CID 189888352.

[Selkov_Model-3] „Selkov Model Wolfram Demo“. [demonstations.wolfram.com]. Citováno 30. září 2012.

[Strogatz1994-4] Podrobné odvození viz Strogatz, Steven H. (1994). Nelineární dynamika a chaos. Addison Wesley. p.205. ISBN 978-0-7382-0453-6.

[Reza_Serajian-5] Serajian, Reza (2011). „Účinky setrvačnosti podvozku a těla na nelineární lov dvojkolí rozpoznávaný teorií bifurkace hopf“ (PDF). International Journal of Automotive Engineering. 3 (4): 186–196.

[HaleKocak1991-6] Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dynamika a bifurkace. Texty z aplikované matematiky. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.

[HairerNorsettWanner1993-7] Hairer, E .; Norsett, S. P .; Wanner, G. (1993). Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffové problémy (Druhé vydání.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.

[KahouiWeber2000-8] A ^b Kahoui, M. E.; Weber, A. (2000). "Rozhodování o Hopfových bifurkacích eliminací kvantifikátoru v architektuře softwarové komponenty". Journal of Symbolic Computation. 30 (2): 161–179. doi:10.1006 / jsco.1999.0353.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]