Hodgkin – Huxleyův model - Hodgkin–Huxley model - Wikipedia

Základní součásti modelů typu Hodgkin – Huxley. Modely typu Hodgkin – Huxley představují biofyzikální charakteristiku buněčných membrán. Lipidová dvojvrstva je reprezentována jako kapacita (C_m). Napěťově řízené a svodové iontové kanály jsou reprezentovány nelineárními (G_n) a lineární (G_L) vodivosti. Elektrochemické přechody pohánějící tok iontů jsou představovány bateriemi (E) a iontová čerpadla a výměníky jsou představovány zdroji proudu (Já_str).

The Hodgkin – Huxleyův modelnebo model založený na vodivosti, je matematický model to popisuje jak akční potenciály v neurony jsou iniciovány a šířeny. Je to soubor nelineární diferenciální rovnice který přibližuje elektrické vlastnosti excitovatelných buněk, jako jsou neurony a srdeční myocyty. Je to nepřetržitý čas dynamický systém.

Alan Hodgkin a Andrew Huxley popsal model v roce 1952, aby vysvětlil iontové mechanismy, které jsou základem iniciace a šíření akčních potenciálů v chobotnice obří axon.^[1] Obdrželi 1963 Nobelova cena za fyziologii nebo medicínu pro tuto práci.

Základní komponenty

Typický Hodgkin-Huxleyův model zachází s každou komponentou vzrušivého článku jako s elektrickým prvkem (jak je znázorněno na obrázku). The lipidová dvojvrstva je reprezentován jako a kapacita (C_m). Napěťově řízené iontové kanály jsou zastoupeny elektrické vodivosti (G_n, kde n je specifický iontový kanál), které závisí na napětí i čase. Netěsné kanály jsou reprezentovány lineárními vodivosti (G_L). The elektrochemické přechody řízení toku iontů jsou reprezentovány zdroje napětí (E_n) jehož napětí jsou určeny poměrem intra- a extracelulárních koncentrací sledovaných iontových druhů. Konečně, iontová čerpadla jsou zastoupeny aktuální zdroje (Já_str).^{[je zapotřebí objasnění ]} The membránový potenciál je označen PROTI_m.

Matematicky je proud protékající lipidovou dvojvrstvou zapsán jako

${ displaystyle I_ {c} = C_ {m} { frac {{ mathrm {d}} V_ {m}} {{ mathrm {d}} t}}}$

a proud daným iontovým kanálem je produkt

${ displaystyle I_ {i} = {g_ {i}} (V_ {m} -V_ {i}) ;}$

kde ${ displaystyle V_ {i}}$ je reverzní potenciál z i-tý iontový kanál. U článku s sodíkovým a draselným kanálem je tedy celkový proud přes membránu dán vztahem:

${ displaystyle I = C_ {m} { frac {{ mathrm {d}} V_ {m}} {{ mathrm {d}} t}} + g_ {K} (V_ {m} -V_ {K }) + g_ {Na} (V_ {m} -V_ {Na}) + g_ {l} (V_ {m} -V_ {l})}$

kde Já je celkový membránový proud na jednotku plochy, C_m je kapacita membrány na jednotku plochy, G_K. a G_Na jsou vodivost draslíku a sodíku na jednotku plochy, PROTI_K. a PROTI_Na jsou potenciály reverze draslíku a sodíku a G_l a PROTI_l jsou vodivost úniku na jednotku plochy a potenciál zvrácení úniku. Časově závislé prvky této rovnice jsou PROTI_m, G_Na, a G_K., kde poslední dvě vodivosti také výslovně závisí na napětí.

Charakterizace iontovým proudem

V napěťově řízených iontových kanálech je vodivost kanálu ${ displaystyle g_ {l}}$ je funkcí času i napětí (${ displaystyle g_ {n} (t, V)}$ na obrázku), zatímco v netěsných kanálech ${ displaystyle g_ {l}}$ je konstanta (${ displaystyle g_ {L}}$ na obrázku). Proud generovaný iontovými pumpami závisí na iontových druzích specifických pro danou pumpu. Následující části budou tyto formulace popisovat podrobněji.

Napěťově řízené iontové kanály

Pomocí řady napěťová svorka experimenty a změnou extracelulárních koncentrací sodíku a draslíku vyvinuli Hodgkin a Huxley model, ve kterém jsou vlastnosti excitovatelné buňky popsány sadou čtyř obyčejné diferenciální rovnice.^[1] Spolu s výše uvedenou rovnicí pro celkový proud jsou to:

${ displaystyle I = C_ {m} { frac {{ mathrm {d}} V_ {m}} {{ mathrm {d}} t}} + { bar {g}} _ { text {K }} n ^ {4} (V_ {m} -V_ {K}) + { bar {g}} _ { text {Na}} m ^ {3} h (V_ {m} -V_ {Na} ) + { bar {g}} _ {l} (V_ {m} -V_ {l}),}$

${ displaystyle { frac {dn} {dt}} = alpha _ {n} (V_ {m}) (1-n) - beta _ {n} (V_ {m}) n}$

${ displaystyle { frac {dm} {dt}} = alpha _ {m} (V_ {m}) (1-m) - beta _ {m} (V_ {m}) m}$

${ displaystyle { frac {dh} {dt}} = alpha _ {h} (V_ {m}) (1-h) - beta _ {h} (V_ {m}) h}$

kde Já je proud na jednotku plochy a ${ displaystyle alpha _ {i}}$ a ${ displaystyle beta _ {i}}$ jsou rychlostní konstanty pro i-tý iontový kanál, který závisí na napětí, ale ne na čase. ${ displaystyle { bar {g}} _ {n}}$ je maximální hodnota vodivosti. n, m, a h jsou bezrozměrná množství mezi 0 a 1, která jsou spojena s aktivací draslíkového kanálu, aktivací sodíkového kanálu a deaktivací sodíkového kanálu. Pro ${ displaystyle p = (n, m, h)}$, ${ displaystyle alpha _ {p}}$ a ${ displaystyle beta _ {p}}$ mít formu

${ displaystyle alpha _ {p} (V_ {m}) = p _ { infty} (V_ {m}) / tau _ {p}}$

${ displaystyle beta _ {p} (V_ {m}) = (1-p _ { infty} (V_ {m})) / tau _ {p}.}$

${ displaystyle p _ { infty}}$ a ${ displaystyle (1-p _ { infty})}$ jsou hodnoty ustáleného stavu pro aktivaci a deaktivaci a jsou obvykle reprezentovány symbolem Boltzmannovy rovnice jako funkce ${ displaystyle V_ {m}}$. V původním příspěvku Hodgkina a Huxleye^[1] funkce ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou dány

${ displaystyle { begin {array} {lll} alpha _ {n} (V_ {m}) = { frac {0,01 (10 + V_ {m})} { exp { big (} { frac {10 + V_ {m}} {10}} { big)} - 1}} & alpha _ {m} (V_ {m}) = { frac {0,1 (25 + V_ {m})} { exp { big (} { frac {25 + V_ {m}} {10}} { big)} - 1}} & alpha _ {h} (V_ {m}) = 0,07 exp { bigg (} { frac {V_ {m}} {20}} { bigg)} beta _ {n} (V_ {m}) = 0,125 exp { bigg (} { frac {V_ { m}} {80}} { bigg)} & beta _ {m} (V_ {m}) = 4 exp { bigg (} { frac {V_ {m}} {18}} { bigg )} & beta _ {h} (V_ {m}) = { frac {1} { exp { big (} { frac {30 + V_ {m}} {10}} { big)} +1}} end {pole}}}$

zatímco v mnoha současných softwarových programech^[2]Modely typu Hodgkin – Huxley se zobecňují ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ na

${ displaystyle { frac {A_ {p} (V_ {m} -B_ {p})} { exp { big (} { frac {V_ {m} -B_ {p}} {C_ {p} }} { big)} - D_ {p}}}}$

Za účelem charakterizace napěťově řízených kanálů jsou rovnice přizpůsobeny datům napěťových kleští. Odvození Hodgkin-Huxleyových rovnic pod napěťovou svorkou viz.^[3] Stručně řečeno, když je potenciál membrány udržován na konstantní hodnotě (tj. Napěťová svorka), pro každou hodnotu potenciálu membrány se nelineární hradlové rovnice redukují na rovnice tvaru:

${ displaystyle m (t) = m_ {0} - [(m_ {0} -m _ { infty}) (1-e ^ {- t / tau _ {m}})]],$

${ displaystyle h (t) = h_ {0} - [(h_ {0} -h _ { infty}) (1-e ^ {- t / tau _ {h}})]],$

${ displaystyle n (t) = n_ {0} - [(n_ {0} -n _ { infty}) (1-e ^ {- t / tau _ {n}})]] ,}$

Tedy pro každou hodnotu membránového potenciálu ${ displaystyle V_ {m}}$ sodíkové a draselné proudy lze popsat pomocí

${ displaystyle I _ { mathrm {Na}} (t) = { bar {g}} _ { mathrm {Na}} m (V_ {m}) ^ {3} h (V_ {m}) (V_ {m} -E _ { mathrm {Na}}),}$

${ displaystyle I _ { mathrm {K}} (t) = { bar {g}} _ { mathrm {K}} n (V_ {m}) ^ {4} (V_ {m} -E _ { mathrm {K}}).}$

Aby bylo možné dospět k úplnému řešení propagovaného akčního potenciálu, je třeba napsat aktuální výraz Já na levé straně první diferenciální rovnice ve smyslu PROTI, takže se z rovnice stane rovnice pouze pro napětí. Vztah mezi Já a PROTI lze odvodit z teorie kabelů a je dán

${ displaystyle I = { frac {a} {2R}} { frac { částečné ^ {2} V} { částečné x ^ {2}}},}$

kde A je poloměr axon, R je specifický odpor z axoplazma, a X je poloha podél nervového vlákna. Nahrazení tohoto výrazu výrazem Já transformuje původní sadu rovnic na sadu parciální diferenciální rovnice, protože napětí se stává funkcí obou X a t.

The Algoritmus Levenberg – Marquardt se často používá k přizpůsobení těchto rovnic datům napětí-svorky.^[4]

Zatímco původní experimenty ošetřovaly pouze sodíkové a draselné kanály, lze Hodgkinův-Huxleyův model rozšířit i na jiné druhy iontové kanály.

Netěsné kanály

Únikové kanály představují přirozenou permeabilitu membrány pro ionty a mají podobu rovnice pro kanály s napěťovou bránou, kde je vodivost ${ displaystyle g_ {leak}}$ je konstanta. Tedy svodový proud způsobený pasivními iontovými kanály úniku ve Hodgkinově-Huxleyově formalismu ${ displaystyle I_ {l} = g_ {leak} (V-V_ {leak})}$.

Čerpadla a výměníky

Membránový potenciál závisí na udržování gradientů iontové koncentrace. Udržování těchto koncentračních gradientů vyžaduje aktivní transport iontových druhů. Nejznámější z nich jsou sodík-draslík a sodík-vápník. Některé základní vlastnosti výměníku Na / Ca jsou již dobře zavedené: stechiometrie výměny je 3 Na⁺: 1 Ca²⁺ a výměník je elektrogenní a citlivý na napětí. Podrobně byl také popsán výměník Na / K s 3 Na⁺: 2 K.⁺ stechiometrie.^[5][6]

Matematické vlastnosti

Model Hodgkin – Huxley lze považovat za model diferenciální rovnice se čtyřmi stavové proměnné, proti(t), m(t), n(t), a h(t), tato změna s ohledem na čast. Systém je obtížné studovat, protože je a nelineární systém a nelze je vyřešit analyticky. K analýze systému však existuje mnoho numerických metod. Určité vlastnosti a obecné chování, například mezní cykly, lze prokázat existenci.

Simulace Hodgkin-Huxleyova modelu ve fázovém prostoru, pokud jde o napětí v (t) a draslíkovou hradlovou proměnnou n (t). Uzavřená křivka je známá jako a mezní cyklus.

Středové potrubí

Protože existují čtyři stavové proměnné, které vizualizují cestu dovnitř fázový prostor může být obtížné. Obvykle se volí dvě proměnné, napětí proti(t) a proměnná hradla draslíku n(t), což člověku umožňuje vizualizovat mezní cyklus. Je však třeba být opatrný, protože se jedná o ad hoc metodu vizualizace 4-dimenzionálního systému. To nedokazuje existenci limitního cyklu.

Lepší projekce lze sestrojit z pečlivé analýzy Jacobian systému, hodnoceno na rovnovážný bod. Konkrétně vlastní čísla z Jacobian jsou indikativní pro středové potrubí existence. Stejně tak vlastní vektory z Jacobian odhalit středové potrubí orientace. Hodgkin – Huxleyův model má dvě záporná vlastní čísla a dvě komplexní vlastní čísla s mírně pozitivními reálnými částmi. Vlastní vektory spojené se dvěma zápornými vlastními hodnotami se časem sníží na nulu t zvyšuje. Zbývající dva složité vlastní vektory definují středové potrubí. Jinými slovy, 4-dimenzionální systém se zhroutí do 2-dimenzionální roviny. Jakékoli řešení začínající od středového potrubí se bude rozpadat směrem ke střednímu potrubí. Mezní cyklus je dále obsažen ve středním potrubí.

Napětí proti(t) (v milivoltech) modelu Hodgkin – Huxley, graficky znázorněn na 50 milisekund. Vstřikovaný proud se pohybuje od -5 nanoampérů do 12 nanoampérů. Graf prochází třemi fázemi: fází rovnováhy, fází s jedním bodem a fází mezního cyklu.

Bifurkace

Pokud je injektovaný proud ${ displaystyle I}$ byly použity jako bifurkační parametr, pak model Hodgkin – Huxley podstoupí a Hopf rozdvojení. Stejně jako u většiny neuronálních modelů zvyšuje zvýšení vstřikovaného proudu rychlost střelby neuronu. Jedním z důsledků bifurkace Hopf je, že existuje minimální rychlost střelby. To znamená, že buď neuron vůbec nevystřeluje (což odpovídá nulové frekvenci), nebo vystřeluje minimální rychlostí zážehu. Kvůli princip všeho nebo nikdo, v akční potenciál amplituda, ale spíše dochází k náhlému „skoku“ v amplitudě. Výsledný přechod je znám jako a kachna.

Vylepšení a alternativní modely

Hodgkin – Huxleyův model je považován za jeden z velkých úspěchů biofyziky 20. století. Moderní modely typu Hodgkin – Huxley však byly rozšířeny několika důležitými způsoby:

• Na základě experimentálních údajů byly začleněny další populace iontových kanálů.
• Model Hodgkin – Huxley byl upraven tak, aby zahrnoval teorie přechodového stavu a vyrábět termodynamické Modely Hodgkin – Huxley.^[7]
• Modely často obsahují velmi složité geometrie dendrity a axony, často na základě mikroskopických dat.
• Stochastický modely chování iontových kanálů, vedoucí ke stochastickým hybridním systémům.^[8]
• The Poisson – Nernst – Planck (PNP) model je založen na a střední aproximace pole iontových interakcí a popis kontinua koncentrace a elektrostatického potenciálu.^[9]

Bylo také vyvinuto několik zjednodušených neuronálních modelů (např Model FitzHugh – Nagumo ), což umožňuje efektivní rozsáhlou simulaci skupin neuronů a také matematický pohled na dynamiku generování akčního potenciálu.

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Interaktivní Javascriptová simulace HH modelu Spouští se v jakémkoli prohlížeči podporujícím HTML5. Umožňuje změnu parametrů modelu a aktuálního vstřikování.
• Interaktivní Java applet modelu HH Lze měnit parametry modelu, stejně jako je možné budicí parametry a vykreslování fázových prostorů všech proměnných.
• Přímý odkaz na model Hodgkin – Huxley a a Popis v Databáze biomodelů
• Neural Impulses: The Action Potential in Action autor: Garrett Neske, Demonstrační projekt Wolfram
• Interaktivní model Hodgkin – Huxley Shimon Marom, Demonstrační projekt Wolfram
• ModelDB Výpočtová databáze zdrojového kódu neurovědy obsahující 4 verze (v různých simulátorech) původního Hodgkin-Huxleyova modelu a stovky modelů, které používají Hodgkin-Huxleyův model na jiné kanály v mnoha elektricky excitovatelných typech buněk.
• Několik článků o stochastické verzi modelu a jeho propojení s původní.