Série Sturm - Sturm series

V matematice je Série Sturm^[1] spojené s párem polynomy je pojmenován po Jacques Charles François Sturm.

Definice

Nechat ${ displaystyle p_ {0}}$ a ${ displaystyle p_ {1}}$ dva jednorozměrné polynomy. Předpokládejme, že nemají společný kořen a stupeň ${ displaystyle p_ {0}}$ je větší než stupeň ${ displaystyle p_ {1}}$. The Série Sturm je konstruován:

${ displaystyle p_ {i}: = p_ {i + 1} q_ {i + 1} -p_ {i + 2} { text {pro}} i geq 0.}$

Toto je téměř stejný algoritmus jako Euklidova ale zbytek ${ displaystyle p_ {i + 2}}$ má záporné znaménko.

Sturmova řada spojená s charakteristickým polynomem

Podívejme se nyní na sérii Sturm ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, tečky, p_ {k}}$ spojené s a charakteristický polynom ${ displaystyle P}$ v proměnné ${ displaystyle lambda}$:

${ displaystyle P ( lambda) = a_ {0} lambda ^ {k} + a_ {1} lambda ^ {k-1} + cdots + a_ {k-1} lambda + a_ {k}}$

kde ${ displaystyle a_ {i}}$ pro ${ displaystyle i}$ v ${ displaystyle {1, tečky, k }}$ jsou racionální funkce v ${ displaystyle mathbb {R} (Z)}$ se sadou souřadnic ${ displaystyle Z}$. Série začíná dvěma polynomy získanými dělením ${ displaystyle P ( imath mu)}$ podle ${ displaystyle imath ^ {k}}$ kde ${ displaystyle imath}$ představuje imaginární jednotku rovnou ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ a oddělte skutečné a imaginární části:

${ displaystyle { begin {aligned} p_ {0} ( mu) &: = Re left ({ frac {P ( imath mu)} { imath ^ {k}}} right) = a_ {0} mu ^ {k} -a_ {2} mu ^ {k-2} + a_ {4} mu ^ {k-4} pm cdots p_ {1} ( mu) &: = - Im left ({ frac {P ( imath mu)} { imath ^ {k}}} right) = a_ {1} mu ^ {k-1} -a_ {3 } mu ^ {k-3} + a_ {5} mu ^ {k-5} pm cdots end {zarovnáno}}}$

Zbývající pojmy jsou definovány ve výše uvedeném vztahu. Vzhledem ke speciální struktuře těchto polynomů je lze zapsat ve tvaru:

${ displaystyle p_ {i} ( mu) = c_ {i, 0} mu ^ {ki} + c_ {i, 1} mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} mu ^ { ki-4} + cdots}$

V těchto zápisech kvocient ${ displaystyle q_ {i}}$ je rovný ${ displaystyle (c_ {i-1,0} / c_ {i, 0}) mu}$ který poskytuje podmínku ${ displaystyle c_ {i, 0} neq 0}$. Navíc polynom ${ displaystyle p_ {i}}$ nahrazen ve výše uvedeném vztahu dává následující rekurzivní vzorce pro výpočet koeficientů ${ displaystyle c_ {i, j}}$.

${ displaystyle c_ {i + 1, j} = c_ {i, j + 1} { frac {c_ {i-1,0}} {c_ {i, 0}}} - c_ {i-1, j +1} = { frac {1} {c_ {i, 0}}} det { begin {pmatrix} c_ {i-1,0} & c_ {i-1, j + 1} c_ {i , 0} & c_ {i, j + 1} end {pmatrix}}.}$

Li ${ displaystyle c_ {i, 0} = 0}$ pro některé ${ displaystyle i}$kvocient ${ displaystyle q_ {i}}$ je polynom vyššího stupně a posloupnost ${ displaystyle p_ {i}}$ zastaví se na ${ displaystyle p_ {h}}$ s ${ displaystyle h$.

Reference