Mezní cyklus - Limit cycle

Stabilní mezní cyklus (zobrazený tučně) a do něj spirálovitě spirálovité dvě další trajektorie

Stabilní mezní cyklus (zobrazený tučně) pro Van der Pol oscilátor

v matematika, ve studii o dynamické systémy s dvourozměrným fázový prostor, a mezní cyklus je uzavřený trajektorie ve fázovém prostoru, který má tu vlastnost, že do něj spirála alespoň jedna další trajektorie, buď jak se čas blíží k nekonečnu, nebo jak se čas blíží k zápornému nekonečnu. U některých se takové chování projevuje nelineární systémy. Mezní cykly byly použity k modelování chování velkého množství oscilačních systémů v reálném světě. Studium limitních cyklů bylo zahájeno Henri Poincaré (1854–1912).

Definice

Uvažujeme o dvourozměrném dynamickém systému formy

${ displaystyle x '(t) = V (x (t))}$

kde

${ displaystyle V: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}$

je plynulá funkce. A trajektorie tohoto systému je nějaká plynulá funkce ${ displaystyle x (t)}$ s hodnotami v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ který splňuje tuto diferenciální rovnici. Taková trajektorie se nazývá Zavřeno (nebo periodicky) pokud není konstantní, ale vrací se do výchozího bodu, tj. pokud nějaké existuje ${ displaystyle t_ {0}> 0}$ takhle ${ displaystyle x (t + t_ {0}) = x (t)}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {R}}$. An obíhat je obraz trajektorie, podmnožina ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. A uzavřená oběžná dráhanebo cyklus, je obraz uzavřené trajektorie. A mezní cyklus je cyklus, který je nastaven limit jiné trajektorie.

Vlastnosti

Podle Jordanova věta o křivce, každá uzavřená trajektorie rozděluje rovinu na dvě oblasti, vnitřní a vnější křivku.

Vzhledem k limitnímu cyklu a trajektorii v jeho vnitřku, která se blíží k limitnímu cyklu pro přibližování času ${ displaystyle + infty}$, pak existuje sousedství kolem limitního cyklu takové, že Všechno trajektorie v interiéru, které začínají v sousedství, se blíží k limitnímu cyklu pro blížící se čas ${ displaystyle + infty}$. Odpovídající tvrzení platí pro trajektorii v interiéru, která se blíží k limitnímu cyklu pro blížící se čas ${ displaystyle - infty}$, a také pro trajektorie v exteriéru blížící se limitnímu cyklu.

Stabilní, nestabilní a polostabilní mezní cykly

V případě, že se všechny sousední trajektorie blíží k limitnímu cyklu, když se čas blíží nekonečnu, nazývá se to a stabilní nebo přitažlivý mezní cyklus (ω-mezní cyklus). Pokud se k němu všechny sousední trajektorie přiblíží, když se čas blíží záporné nekonečnu, pak je to nestabilní mezní cyklus (α-mezní cyklus). Pokud existuje sousední trajektorie, která spirálovitě přechází do limitního cyklu, jak se čas blíží k nekonečnu, a další, která spirálovitě přechází do ní, jak se čas blíží k nekonečnu, pak polostabilní mezní cyklus. Existují také limitní cykly, které nejsou ani stabilní, nestabilní, ani polostabilní: například sousední trajektorie může přistupovat k limitnímu cyklu zvenčí, ale do vnitřku limitního cyklu se přibližuje rodina dalších cyklů (což by t být mezní cykly).

Stabilní mezní cykly jsou příklady atraktory. Naznačují soběstačnost oscilace: uzavřená trajektorie popisuje dokonalé periodické chování systému a jakékoli malé narušení z této uzavřené trajektorie způsobí, že se k ní systém vrátí, což způsobí, že se systém bude držet mezního cyklu.

Hledání mezních cyklů

Každá uzavřená trajektorie obsahuje ve svém vnitřku a stacionární bod systému, tj. bodu ${ displaystyle p}$ kde ${ displaystyle V (p) = 0}$. The Bendixson – Dulacova věta a Poincaré – Bendixsonova věta předpovídat absenci nebo existenci limitních cyklů dvourozměrných nelineárních dynamických systémů.

Otevřené problémy

Hledání mezních cyklů je obecně velmi obtížný problém. Počet mezních cyklů polynomiální diferenciální rovnice v rovině je hlavním předmětem druhé části Hilbertův šestnáctý problém. Není například známo, zda existuje nějaký systém ${ displaystyle x '= V (x)}$ v rovině, kde obě složky ${ displaystyle V}$ jsou kvadratické polynomy dvou proměnných, takže systém má více než 4 mezní cykly.

Aplikace

Příklady větvení mezních cyklů z blízkých pevných bodů Hopf rozdvojení. Trajektorie v červené barvě, stabilní struktury v tmavě modré barvě, nestabilní struktury ve světle modré barvě. Volba parametru určuje výskyt a stabilitu mezních cyklů.

Limitní cykly jsou důležité v mnoha vědeckých aplikacích, kde se modelují systémy s vlastními oscilacemi. Některé příklady zahrnují:

• Aerodynamické oscilace mezního cyklu^[1]
• The Hodgkin – Huxleyův model pro akční potenciály v neurony.
• Sel'kov model glykolýza.^[2]
• Denní oscilace genové exprese, hladiny hormonů a tělesné teploty zvířat, která jsou součástí cirkadiánní rytmus.^[3][4]
• The migrace z rakovinné buňky v uzavřených mikroprostředích následuje oscilace limitního cyklu.^[5]
• Některé nelineární elektrické obvody vykazují oscilace mezního cyklu,^[6] který inspiroval originál Van der Pol model.

Viz také

• Hyperbolická sada
• Periodický bod
• Vlastní oscilace
• Stabilní potrubí

Reference

Další čtení

• Steven H. Strogatz (2014). Nelineární dynamika a chaos: s aplikacemi ve fyzice, biologii, chemii a inženýrství. Avalon. ISBN  9780813349114.
• M. Vidyasagar (2002). Nelineární analýza systémů (Druhé vydání.). SIAM. ISBN  9780898715262.
• Philip Hartman, „Obyčejná diferenciální rovnice“, Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 2002.
• Witold Hurewicz, „Přednášky o obyčejných diferenciálních rovnicích“, Dover, 2002.
• Solomon Lefschetz, „Diferenciální rovnice: Geometrická teorie“, Dover, 2005.
• Lawrence Perko, „Diferenciální rovnice a dynamické systémy“, Springer-Verlag, 2006.
• Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

externí odkazy

• "mezní cyklus". planetmath.org. Citováno 2019-07-06.