Hofstadter body - Hofstadter points

v trojúhelník geometrie, a Hofstadter bod je zvláštní bod spojený s každým letadlo trojúhelník. Ve skutečnosti existuje několik bodů Hofstadter spojených s trojúhelníkem. Všichni jsou středy trojúhelníků. Dva z nich, Hofstadter nulový bod a Hofstadter jednobodový, jsou obzvláště zajímavé.[1] Jsou dva centra transcendentálního trojúhelníku. Nulový bod Hofstadter je střed označený jako X (360) a Hofstafterův jeden bod je střed označený jako X (359) v Clark Kimberling je Encyclopedia of Triangle Centers. Nulový bod Hofstadter objevil Douglas Hofstadter v roce 1992.[1]

Hofstadterovy trojúhelníky

HofstadterPoint.svg

Nechat ABC být daný trojúhelník. Nechat r být pozitivní skutečnou konstantou.

Otočit úsečku před naším letopočtem o B skrz úhel rB vůči A a nechte Lpřed naším letopočtem být čára obsahující tento úsečný segment. Dále otočte úsečku před naším letopočtem o C skrz úhel rC vůči A. Nechat L 'před naším letopočtem být čára obsahující tento úsečný segment. Nechte řádky Lpřed naším letopočtem a L 'před naším letopočtem protínají se v A(r). Podobným způsobem body B(r) a C(r) jsou konstruovány. Trojúhelník, jehož vrcholy jsou A(r), B(r), C(r) je Hofstadter r- trojúhelník (nebo r-Hofstadterův trojúhelník) trojúhelníku ABC.[2][1]

Speciální případ

Trilineární souřadnice vrcholů Hofstadterových trojúhelníků

Trilineární souřadnice vrcholů Hofstadteru r-triangle jsou uvedeny níže:

A(r) = (1, hřích rB / hřích (1 - r)B , hřích rC / hřích (1 - r)C )
B(r) = (hřích rA / hřích (1 - r)A , 1, hřích rC / hřích (1 - r)C )
C(r) = (hřích rA / hřích (1 - r)A , hřích (1 - r)B / hřích rB , 1 )

Hofstadter body

Animace zobrazující různé body Hofstadter. H0 je nulový bod Hofstadter. H1 je Hofstadter jednobodový. Malý červený oblouk ve středu trojúhelníku je místem Hofstadteru r-bodů za 0 < r <1. Tento lokus prochází stimulátorem Já trojúhelníku.

Pro pozitivní skutečnou konstantu r > 0, nech A(r) B(r) C(r) být Hofstadter r- trojúhelník trojúhelníku ABC. Pak řádky AA(r), BB(r), CC(r) jsou souběžné.[3] Bodem souběhu je Hofstdter r-bod trojúhelníku ABC.

Trilineární souřadnice Hofstadter r-směřovat

Trilineární souřadnice Hofstadteru r-bod je uveden níže.

(hřích rA / hřích ( A − rA), hřích rB / hřích ( B - rB ), hřích rC / hřích ( C − rC) )

Hofstadter nula a jeden bod

Trilineární souřadnice těchto bodů nelze získat zasunutím hodnot 0 a 1 pro r ve výrazech pro trilineární souřadnice pro Hofstdter r-směřovat.

Nulový bod Hofstadter je limitem Hofstadteru r-bod jako r blíží se nule.
Jeden bod Hofstadter je limitem Hofstadter r-bod jako r přistupuje k jedné.

Trilineární souřadnice nulového bodu Hofstadter

= lim r → 0 (hřích rA / hřích ( A − rA), hřích rB / hřích ( B − rB ), hřích rC / hřích ( C − rC) )
= lim r → 0 (hřích rA / r hřích ( A − rA), hřích rB / r hřích ( B − rB ), hřích rC / r hřích ( C − rC) )
= lim r → 0 ( A hřích rA / rA hřích ( A − rA) , B hřích rB / rB hřích ( B − rB ) , C hřích rC / rC hřích ( C − rC) )
= ( A / hřích A , B / hřích B , C / hřích C )), jako lim r → 0 hřích rA / rA = 1 atd.
= ( A / A, B / b, C / C )

Trilineární souřadnice jednoho bodu Hofstadter

= lim r → 1 (hřích rA / hřích ( A − rA), hřích rB / hřích ( B − rB ), hřích rC / hřích ( C − rC) )
= lim r → 1 ( ( 1 − r ) hřích rA / hřích ( A − rA) , ( 1 - r ) hřích rB / hřích ( B − rB ) , ( 1 − r )hřích rC / hřích ( C − rC) )
= lim r → 1 ( ( 1 − r ) A hřích rA / A hřích ( A − rA) , ( 1 − r ) B hřích rB / B hřích ( B − rB ) , ( 1 − r ) C hřích rC / C hřích ( C − rC) )
= (hřích A / A , hřích B / B , hřích C / C )) jako lim r → 1 ( 1 − r ) A / hřích ( A − rA ) = 1 atd.
= ( A / A, b / B, C / C )

Reference

  1. ^ A b C Kimberling, Clark. "Body Hofstadter". Citováno 11. května 2012.
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Trojúhelník Hofstadter“. MathWorld - webový zdroj Wolfram. Citováno 11. května 2012.
  3. ^ C. Kimberling (1994). "Body Hofstadter". Nieuw Archief voor Wiskunde. 12: 109–114.