| tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Specifický problém je: Jsou definovány potřeby shrnující sekce, příliš mnoho rovnic a ne všechny proměnné. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Říjen 2019) |
The Střídání podle Peierlse metoda, pojmenovaná podle původního díla Rudolf Peierls[1] je široce používaná aproximace pro popis pevně svázaný elektrony v přítomnosti pomalu se měnícího potenciálu magnetického vektoru.[2]
V přítomnosti externího potenciál magnetického vektoru operátory překladu, které tvoří kinetickou část hamiltoniánu v pevně vázaný rámec, jsou jednoduše
a v druhá kvantizace formulace
Fáze jsou definovány jako
Vlastnosti
- Počet kvanta toku na plaketu souvisí s mřížkovým vlněním fázového faktoru ,:
a celkový tok přes mřížku je s být kvantovým magnetickým tokem v Gaussovy jednotky. - Kvantu toku na plaketu souvisí s akumulovanou fází stavu jedné částice, obklopující plaketu:
Odůvodnění
Zde uvádíme tři derivace Peierlsovy substituce, každá z nich je založena na jiné formulaci teorie kvantové mechaniky.
Axiomatický přístup
Zde uvádíme jednoduchou derivaci substituce Peierlse, která je založena na Feynmanových přednáškách (sv. III, kapitola 21).[3] Tato derivace předpokládá, že magnetická pole jsou začleněna do modelu těsné vazby přidáním fáze k výrazům skákání a ukazují, že je v souladu s Hamiltonianovým kontinuem. Naším výchozím bodem je tedy Hofstadter Hamiltonian:[2]
Operátor překladu lze psát explicitně pomocí jeho generátoru, tedy operátora hybnosti. Pod tímto znázorněním je snadné jej rozšířit až do druhého řádu,
a ve 2D mřížce . Dále rozšiřujeme až do druhého řádu fázové faktory, za předpokladu, že se vektorový potenciál významně nemění přes jeden rozteč mřížky (což je považováno za malé)
Nahrazení těchto expanzí příslušnou částí hamiltonovských výnosů
Zevšeobecněním posledního výsledku pro případ 2D jsme dorazili do Hofstadter Hamiltonian na hranici kontinua:
kde je efektivní hmotnost a .
Poloklasický přístup
Zde ukážeme, že Peierlův fázový faktor pochází z propagátoru elektronu v magnetickém poli díky dynamickému členu objevit se v Lagrangeově. V cesta integrální formalismus, který zobecňuje akční princip klasické mechaniky, amplitudu přechodu z místa v čase na web v čase darováno
kde integrační operátor, označuje součet za všechny možné cesty z na a je klasický akce, což je funkce, která jako argument bere trajektorii. Používáme k označení trajektorie s koncovými body v . Lagrangian systému lze psát jako
kde je Lagrangian v nepřítomnosti magnetického pole. Přečte se odpovídající akce
Nyní, za předpokladu, že silně přispívá pouze jedna cesta, máme
Proto je amplituda přechodu elektronu, který je vystaven magnetickému poli, ta v nepřítomnosti magnetického pole krát fáze.
Důsledná derivace
Hamiltonián je dán
kde je potenciální krajina díky krystalové mřížce. Blochova věta tvrdí, že řešení problému:, je třeba hledat ve formě blochového součtu
kde je počet jednotkových buněk a jsou známé jako Wannierovy funkce. Odpovídající vlastní čísla , které tvoří pásy v závislosti na hybnosti krystalu , jsou získány výpočtem maticového prvku
a nakonec závisí na materiálově závislých přeskakovacích integrálech
V přítomnosti magnetického pole se Hamiltonian změní na
kde je náboj částice. Chcete-li to změnit, zvažte změnu funkcí Wannier na
kde . Díky tomu jsou nové funkce vln Bloch
do vlastních stavů celého Hamiltonian v té době , se stejnou energií jako předtím. Nejprve to uvidíme psát
Poté, když vypočítáme skákající integrál v kvazi-rovnováze (za předpokladu, že se vektorový potenciál mění pomalu)
kde jsme definovali , tok trojúhelníkem vytvořený třemi pozičními argumenty. Protože předpokládáme je přibližně stejná v mřížkové stupnici[4] - měřítko, ve kterém jsou Wannierovy státy lokalizovány do pozic - můžeme se přiblížit , čímž se získá požadovaný výsledek,
Proto jsou prvky matice stejné jako v případě bez magnetického pole, kromě zachyceného fázového faktoru, který se označuje jako Peierlsův fázový faktor. To je nesmírně výhodné, protože poté použijeme stejné parametry materiálu bez ohledu na hodnotu magnetického pole a odpovídající fáze je výpočetně triviální. Pro elektrony (
) rovná se nahrazení skákajícího termínu
s
[4][5][6][7]Reference