Spektrální sekvence Hodge – de Rham - Hodge–de Rham spectral sequence

V matematice je Spektrální sekvence Hodge – de Rham (pojmenováno na počest W. V. D. Hodge a Georges de Rham ) je alternativní termín, který se někdy používá k popisu Frölicherova spektrální sekvence (pojmenoval podle Alfred Frölicher, kdo to vlastně objevil). Tato spektrální sekvence popisuje přesný vztah mezi Dolbeaultova kohomologie a de Rhamova kohomologie generála komplexní potrubí. Na kompaktním Kählerově potrubí se sekvence degeneruje, což vede k Hodgeův rozklad z de Rham kohomologie.

Popis spektrální sekvence

The spektrální sekvence je následující:

${ displaystyle H ^ {q} (X, Omega ^ {p}) Rightarrow H ^ {p + q} (X, mathbf {C})}$

kde X je komplexní potrubí, ${ displaystyle H ^ {p + q} (X, mathbf {C})}$ je jeho cohomologie se složitými koeficienty a levým výrazem, kterým je ${ displaystyle E_ {1}}$-strana spektrální sekvence, je cohomologie s hodnotami v svazku holomorfní diferenciální formy Existence spektrální sekvence, jak je uvedeno výše, vyplývá z Poincaré lemma, což dává kvazi-izomorfismus komplexů snopů

${ displaystyle mathbf {C} rightarrow Omega ^ {*}: = [ Omega ^ {0} { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} { stackrel {d} { to}} cdots to Omega ^ { dim X}],}$

společně s obvyklou spektrální sekvencí vyplývající z filtrovaného objektu, v tomto případě Hodgeova filtrace

${ displaystyle F ^ {p} Omega ^ {*}: = [ cdots to 0 to Omega ^ {p} to Omega ^ {p + 1} to cdots]}$

z ${ displaystyle Omega ^ {*}}$.

Degenerace

Centrální věta vztahující se k této spektrální sekvenci je pro kompakt Kähler potrubí X, například a projektivní rozmanitost, výše uvedená spektrální sekvence degeneruje na ${ displaystyle E_ {1}}$-strana. Zejména dává izomorfismus označovaný jako Hodgeův rozklad

${ displaystyle bigoplus _ {p + q = n} H ^ {p} (X, Omega ^ {q}) = H ^ {n} (X, mathbf {C}).}$

Degeneraci spektrální sekvence lze ukázat pomocí Hodgeova teorie.^[1][2] Rozšíření této degenerace v relativní situaci, pro správnou plynulou mapu ${ displaystyle f: X až S}$, také ukázal Deligne.^[3]

Čistě algebraický důkaz

Pro plynulé správné odrůdy nad polem charakteristiky 0 lze spektrální sekvenci zapsat také jako

${ displaystyle H ^ {p} (X, Omega ^ {q}) Rightarrow H ^ {p + q} (X, Omega ^ {*}),}$

kde ${ displaystyle Omega ^ {q}}$ označuje svazek algebraických diferenciálních forem (také známý jako Kählerovy diferenciály ) zapnuto X, ${ displaystyle Omega ^ {*}}$ je (algebraické) komplex de Rham, skládající se z ${ displaystyle Omega ^ {q}}$ přičemž rozdíl je vnější derivace. V této masce jsou všechny termíny ve spektrální sekvenci čistě algebraické (na rozdíl od analytické) povahy. Zejména otázka degenerace této spektrální sekvence má smysl pro odrůdy nad charakteristickým polem p>0.

Deligne & Illusie (1987) ukázal, že pro X přes perfektní pole pozitivní charakteristiky, spektrální sekvence degeneruje, za předpokladu, že X připouští výtah do (hladkého správného) schématu přes kruh Wittovy vektory Ž₂(k) o délce dva (například pro k=F_p, tento prsten by byl Z/p²). Jejich důkaz používá Operátor Cartier, která existuje pouze v pozitivní charakteristice. Výsledkem této degenerace je charakteristika p> 0 pak lze použít také k prokázání degenerace spektrální sekvence pro X nad polem charakteristiky 0.

Komutativní verze

De Rhamův komplex a také de Rhamova kohomologie odrůdy připouštějí zevšeobecňování nekomutativní geometrie. Tato obecnější studie nastavení dg kategorie. Do kategorie dg lze přiřadit její Hochschildova homologie, a také jeho periodická cyklická homologie. Při použití na kategorii dokonalé komplexy na hladkou správnou odrůdu X, tyto invarianty vracejí diferenciální formy, respektive de Rhamovu kohomologii X. Kontsevich a Soibelman v roce 2009 předpokládali, že pro každou hladkou a správnou kategorii dg C nad polem charakteristiky 0 se Hodge-de Rhamova spektrální sekvence začínající Hochschildovou homologií a přiléhající k periodické cyklické homologii degeneruje:

${ displaystyle HH _ {*} (C / k) [u ^ { pm 1}] Rightarrow HP _ {*} (C / k).}$

Tuto domněnku prokázal Kaledin (2008) a Kaledin (2016) přizpůsobením výše uvedené myšlenky Deligne a Illusie obecnosti hladkých a správných kategorií dg. Mathew (2017) poskytl důkaz o této degeneraci pomocí topologická Hochschildova homologie.

Viz také

• Frölicherova spektrální sekvence
• Hodgeova teorie
• Jacobian ideální - užitečné pro výpočet kohomologie Hodgeova rozkladu

Reference

• Frölicher, Alfred (1955), „Vztahy mezi kohomologickými skupinami Dolbeault a topologickými invarianty“, Sborník Národní akademie věd, 41: 641–644, doi:10.1073 / pnas.41.9.641, JSTOR  89147, PAN  0073262, PMC  528153, PMID  16589720

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), „Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham ", Vymyslet. Matematika., 89 (89): 247–270, Bibcode:1987InMat..89..247D, doi:10.1007 / bf01389078

• Kaledin, D. (2008), „Non-commutative Hodge-to-de Rham degeneration via the method of Deligne-Illusie“, Čistá a aplikovaná matematika čtvrtletně, 4 (3): 785–876, arXiv:matematika / 0611623, doi:10.4310 / PAMQ.2008.v4.n3.a8, PAN  2435845

• Kaledin, Dmitry (2016), Spektrální sekvence pro cyklickou homologii, arXiv:1601.00637, Bibcode:2016arXiv160100637K

• Mathew, Akhil (2017), Kaledinova věta o degeneraci a topologická Hochschildova homologie, arXiv:1710.09045, Bibcode:2017arXiv171009045M