Chow odrůda - Chow variety - Wikipedia

v matematika, zejména v oblasti algebraická geometrie, a Chow odrůda je algebraická rozmanitost jehož body odpovídají všem algebraickým cyklům daného projektivního prostoru dané dimenze a stupně. Jinými slovy, je to moduli prostor ${ displaystyle operatorname {Gr} (k, d, n)}$ s rozmanitou strukturou parametrizující všechny ${ displaystyle (k-1)}$ -rozměrné a algebraické cykly stupňů ${ displaystyle d}$ v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ .

Struktura odrůdy ${ displaystyle operatorname {Gr} (k, d, n)}$ je dána jeho Chow souřadnice, který poskytuje a Vložení Chow odesílání ${ displaystyle operatorname {Gr} (k, d, n)}$ do projektivního prostoru. Chow souřadnice jsou zobecněním Plückerovy souřadnice, přihlašování k (k-1)-dimenzionální algebraické odrůdy stupně ${ displaystyle d}$ v ${ displaystyle (n-1)}$ -dimenzionální projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ . Jsou pojmenovány pro Wei-Liang Chow (周煒良).

Přehled

Grassmannianská odrůda ${ displaystyle operatorname {Gr} (k, n)}$ parametrizuje ${ displaystyle (k-1)}$ -dimenzionální projektivní podprostor v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ . Jinými slovy, parametrizuje všechny algebraické poddruhy stupně 1 ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ . Je přirozené hledat a moduli prostor parametrizační stupeň ${ displaystyle d}$ poddruhy, kde ${ displaystyle d geq 1}$ .

V tomto článku je naším založeným polem pro naše odrůdy pole komplexních čísel. To znamená, že geometrické objekty, které považujeme za stupně ${ displaystyle d}$ algebraické poddruhy v ${ displaystyle (n-1)}$ -dimenzionální komplexní projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {n-1}}$ .

Obecněji můžeme uvažovat případ pole charakteristik ${ displaystyle 0}$ .

Algebraické cykly

Spíše než jednat jen s titulem ${ displaystyle d}$ neredukovatelné poddruhy v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ , uvažujeme o tzv. stupni ${ displaystyle d}$ algebraické cykly.

A ${ displaystyle (k-1)}$ -dimenzionální algebraický cyklus je konečná formální lineární kombinace ${ displaystyle mathbb {Z} _ { geq 0}}$ , označeno jako

{ displaystyle X = součet _ {i} m_ {i} X_ {i}}

.

kde ${ displaystyle X_ {i}}$ jsou ${ displaystyle (k-1)}$ -dimenzionální neredukovatelné uzavřené poddruhy v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ , a ${ displaystyle m_ {i}}$ s jsou nezáporná celá čísla. Stupeň algebraického cyklu je definován jako ${ displaystyle deg (X): = součet _ {i} m_ {i} deg (X_ {i})}$ .

Označujeme ${ displaystyle operatorname {Gr} (k, d, n)}$ jako soubor všech ${ displaystyle (k-1)}$ -rozměrné algebraické cykly v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ . Zejména a ${ displaystyle (n-2)}$ -dimenzionální (codimension se rovná 1) algebraický cyklus se nazývá an efektivní dělitel v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ .

Důvod, proč uvažujeme o konceptu algebraických cyklů, je ten, že může pokrýt spoustu případů podrůd, na kterých nám záleží ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ . U neredukovatelné odrůdy může být zdegenerována do několika linií (například a hyperbola mohou být zdegenerovány do dvou řádků). Pro redukovatelnou odrůdu je to svazek konečně mnoha neredukovatelných poddruhů. V tomto smyslu je zcela přirozené uvažovat spíše o rodině odrůd než o jediné.

Chow formuláře

Abychom vytvořili odrůdy Chow, potřebujeme koncept Chow formy.

Nechat ${ displaystyle X}$ být ${ displaystyle (k-1)}$ -dimenzionální stupeň ${ displaystyle d}$ neredukovatelná podrodina ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ a nechte ${ displaystyle Z (X)}$ být množinou všeho ${ displaystyle (n-k-1)}$ -rozměrné lineární podprostory, které se protínají ${ displaystyle X}$ v obecná pozice z ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ .

Sada ${ displaystyle Z (X)}$ je vlastně titul ${ displaystyle d}$ neredukovatelný hyperplocha v Grassmannian ${ displaystyle operatorname {Gr} (n-k, n)}$ z hlediska Plückerovy souřadnice a definující polynom ${ displaystyle R_ {X}}$ (jedná se o polynom s proměnnými Plückerovy souřadnice ) z ${ displaystyle Z (X)}$ se nazývá Chow forma(nebo Cayleyova forma) z X.

Přesněji, Let ${ displaystyle B = oplus B_ {d}}$ být homogenním souřadným prstencem ${ displaystyle operatorname {Gr} (n-k, n)}$ v jeho Plücker vkládání (Ve skutečnosti, ${ displaystyle B}$ je kvocient polynomiálního kruhu ideálem generovaným jeho Plückerovy vztahy ). Od té doby ${ displaystyle Z (X)}$ je neredukovatelný stupeň ${ displaystyle d}$ hyperplocha v ${ displaystyle operatorname {Gr} (n-k, n)}$ , bude definována mizející sadou nějakého prvku ${ displaystyle R_ {X} v B_ {d}}$ což je jedinečné až do konstantního faktoru. Tento prvek ${ displaystyle R_ {X}}$ se nazývá Chow forma z ${ displaystyle X}$ .

Chowova forma algebraického cyklu ${ displaystyle X = součet _ {i} m_ {i} X_ {i}}$ je definován jako

{ displaystyle R_ {X}: = prod _ {i} {R_ {X_ {i}} ^ {m_ {i}}}}

kde ${ displaystyle R_ {X_ {i}}}$ je přidružená Chowova forma neredukovatelné podvariety ${ displaystyle X_ {i}}$ .

Příklad 1

Nechat ${ displaystyle X}$ být křivkou v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ . S ním spojený hyperplocha ${ displaystyle Z (X)}$ je rozmanitost všech protínajících se čar ${ displaystyle X}$ .

Příklad 2

Nechat ${ displaystyle X}$ samo o sobě být hyperplocha v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ pak Grassmannian ${ displaystyle operatorname {Gr} (n-k, n)}$ je ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ a související ${ displaystyle Z (X)}$ je ${ displaystyle X}$ sám.

Příklad 3

Nechat ${ displaystyle X}$ být bodem v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ , pak ${ displaystyle operatorname {Gr} (n-k, n)}$ je duální projektivní prostor ${ displaystyle ( mathbb {P} ^ {n-1}) ^ {*}}$ a ${ displaystyle Z (X)}$ je odpovídající hyperplocha dvojí k bodu ${ displaystyle X}$ .

Chow souřadnice

Vyberte základ pro ${ displaystyle B_ {d}}$ , píšeme související ${ displaystyle R_ {X}}$ jako lineární kombinace tohoto základu, definovaná až do společného faktoru. Koeficienty tohoto základu se nazývají Chow souřadnice z ${ displaystyle X}$ .

Definice Chow odrůd

Chcete-li definovat souřadnice Chow, vezměte průsečík algebraické odrůdy Z, uvnitř projektivního prostoru, stupně d a rozměr m lineárními podprostory U z kodimenzionální m. Když U je v obecná pozice, bude křižovatka konečná množina d odlišné body.

Pak souřadnice d průsečíky jsou algebraické funkce Plückerovy souřadnice U a převzetím symetrické funkce algebraických funkcí získá homogenní polynom známý jako Chow forma (nebo Cayleyova forma) Z se získá.

Souřadnice Chow jsou pak koeficienty formuláře Chow. Chow souřadnice mohou generovat nejmenší pole definice dělitele. Souřadnice Chow definují bod v projektivním prostoru odpovídající všem formám.

Uzavření možných souřadnic Chow se nazývá odrůda Chow.

Příklady odrůd Chow

Vztah k Hilbertovu schématu

The Hilbertovo schéma je variantou odrůd Chow. Vždy existuje mapa (tzv cyklomapa )

{ displaystyle mathbf {Hilb} to mathbf {Cycl}, , Z mapsto [Z]}

z Hilbertovo schéma k odrůdě Chow.

Chow kvocient

A Chow kvocient parametrizuje uzávěrky generické oběžné dráhy. Je konstruován jako uzavřená podrodina odrůdy Chow.

Kapranovova věta říká, že moduli prostor ${ displaystyle { overline {M}} _ {0, n}}$ z stabilní rodově nulové křivky s n označené body je Chowův kvocient Grassmannian ${ displaystyle operatorname {Gr} (2, mathbb {C} ^ {n})}$ standardním maximálním torusem.

Viz také

Reference

Chow, W.-L.; van der Waerden, B. L. (1937), „Zur algebraische Geometrie IX.“, Mathematische Annalen, 113: 692–704, doi:10.1007 / BF01571660
Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Metody algebraické geometrie, svazek I (kniha II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5. PAN 0028055.
Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Metody algebraické geometrie: Svazek 2 Kniha III: Obecná teorie algebraických variet v projektivním prostoru. Kniha IV: Odrůdy Quadrics a Grassmann. Cambridge Matematická knihovna. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46901-2. PAN 0048065.
Michail Kapranov, Chow kvocienty Grassmannian, I.M. Gelfand Seminar Collection, 29–110, Adv. Sovětská matematika, 16, část 2, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1993.
Kollár, János (1996), Racionální křivky algebraických variet, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
Kollár, János, "Kapitola 1", Kniha o modulech povrchů
Kulikov, Val.S. (2001) [1994], „Chow variety“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Geometrická invariantní teorie. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (2)]. 34 (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. PAN 1304906.

Gelfand, Izrael M.; Kapranov, Michail M.; Zelevinsky, IAndrei V. (1994). Diskriminující, výsledné a vícerozměrné determinanty. Birkhäuser, Boston, MA. ISBN 978-0-8176-4771-1.