Chow odrůda - Chow variety - Wikipedia
v matematika, zejména v oblasti algebraická geometrie, a Chow odrůda je algebraická rozmanitost jehož body odpovídají všem algebraickým cyklům daného projektivního prostoru dané dimenze a stupně. Jinými slovy, je to moduli prostor s rozmanitou strukturou parametrizující všechny -rozměrné a algebraické cykly stupňů v .
Struktura odrůdy je dána jeho Chow souřadnice, který poskytuje a Vložení Chow odesílání do projektivního prostoru. Chow souřadnice jsou zobecněním Plückerovy souřadnice, přihlašování k (k-1)-dimenzionální algebraické odrůdy stupně v -dimenzionální projektivní prostor . Jsou pojmenovány pro Wei-Liang Chow (周 煒 良).
Přehled
Grassmannianská odrůda parametrizuje -dimenzionální projektivní podprostor v . Jinými slovy, parametrizuje všechny algebraické poddruhy stupně 1 . Je přirozené hledat a moduli prostor parametrizační stupeň poddruhy, kde .
V tomto článku je naším založeným polem pro naše odrůdy pole komplexních čísel. To znamená, že geometrické objekty, které považujeme za stupně algebraické poddruhy v -dimenzionální komplexní projektivní prostor .
Obecněji můžeme uvažovat případ pole charakteristik .
Algebraické cykly
Spíše než jednat jen s titulem neredukovatelné poddruhy v , uvažujeme o tzv. stupni algebraické cykly.
A -dimenzionální algebraický cyklus je konečná formální lineární kombinace , označeno jako
- .
kde jsou -dimenzionální neredukovatelné uzavřené poddruhy v , a s jsou nezáporná celá čísla. Stupeň algebraického cyklu je definován jako .
Označujeme jako soubor všech -rozměrné algebraické cykly v . Zejména a -dimenzionální (codimension se rovná 1) algebraický cyklus se nazývá an efektivní dělitel v .
Důvod, proč uvažujeme o konceptu algebraických cyklů, je ten, že může pokrýt spoustu případů podrůd, na kterých nám záleží . U neredukovatelné odrůdy může být zdegenerována do několika linií (například a hyperbola mohou být zdegenerovány do dvou řádků). Pro redukovatelnou odrůdu je to svazek konečně mnoha neredukovatelných poddruhů. V tomto smyslu je zcela přirozené uvažovat spíše o rodině odrůd než o jediné.
Chow formuláře
Abychom vytvořili odrůdy Chow, potřebujeme koncept Chow formy.
Nechat být -dimenzionální stupeň neredukovatelná podrodina a nechte být množinou všeho -rozměrné lineární podprostory, které se protínají v obecná pozice z .
Sada je vlastně titul neredukovatelný hyperplocha v Grassmannian z hlediska Plückerovy souřadnice a definující polynom (jedná se o polynom s proměnnými Plückerovy souřadnice ) z se nazývá Chow forma(nebo Cayleyova forma) z X.
Přesněji, Let být homogenním souřadným prstencem v jeho Plücker vkládání (Ve skutečnosti, je kvocient polynomiálního kruhu ideálem generovaným jeho Plückerovy vztahy ). Od té doby je neredukovatelný stupeň hyperplocha v , bude definována mizející sadou nějakého prvku což je jedinečné až do konstantního faktoru. Tento prvek se nazývá Chow forma z .
Chowova forma algebraického cyklu je definován jako
kde je přidružená Chowova forma neredukovatelné podvariety .
Příklad 1
Nechat být křivkou v . S ním spojený hyperplocha je rozmanitost všech protínajících se čar .
Příklad 2
Nechat samo o sobě být hyperplocha v pak Grassmannian je a související je sám.
Příklad 3
Nechat být bodem v , pak je duální projektivní prostor a je odpovídající hyperplocha dvojí k bodu .
Chow souřadnice
Vyberte základ pro , píšeme související jako lineární kombinace tohoto základu, definovaná až do společného faktoru. Koeficienty tohoto základu se nazývají Chow souřadnice z .
Definice Chow odrůd
Chcete-li definovat souřadnice Chow, vezměte průsečík algebraické odrůdy Z, uvnitř projektivního prostoru, stupně d a rozměr m lineárními podprostory U z kodimenzionální m. Když U je v obecná pozice, bude křižovatka konečná množina d odlišné body.
Pak souřadnice d průsečíky jsou algebraické funkce Plückerovy souřadnice U a převzetím symetrické funkce algebraických funkcí získá homogenní polynom známý jako Chow forma (nebo Cayleyova forma) Z se získá.
Souřadnice Chow jsou pak koeficienty formuláře Chow. Chow souřadnice mohou generovat nejmenší pole definice dělitele. Souřadnice Chow definují bod v projektivním prostoru odpovídající všem formám.
Uzavření možných souřadnic Chow se nazývá odrůda Chow.
Příklady odrůd Chow
Vztah k Hilbertovu schématu
The Hilbertovo schéma je variantou odrůd Chow. Vždy existuje mapa (tzv cyklomapa )
z Hilbertovo schéma k odrůdě Chow.
Chow kvocient
A Chow kvocient parametrizuje uzávěrky generické oběžné dráhy. Je konstruován jako uzavřená podrodina odrůdy Chow.
Kapranovova věta říká, že moduli prostor z stabilní rodově nulové křivky s n označené body je Chowův kvocient Grassmannian standardním maximálním torusem.
Viz také
Reference
- Chow, W.-L.; van der Waerden, B. L. (1937), „Zur algebraische Geometrie IX.“, Mathematische Annalen, 113: 692–704, doi:10.1007 / BF01571660
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Metody algebraické geometrie, svazek I (kniha II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5. PAN 0028055.
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Metody algebraické geometrie: Svazek 2 Kniha III: Obecná teorie algebraických variet v projektivním prostoru. Kniha IV: Odrůdy Quadrics a Grassmann. Cambridge Matematická knihovna. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46901-2. PAN 0048065.
- Michail Kapranov, Chow kvocienty Grassmannian, I.M. Gelfand Seminar Collection, 29–110, Adv. Sovětská matematika, 16, část 2, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1993.
- Kollár, János (1996), Racionální křivky algebraických variet, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
- Kollár, János, "Kapitola 1", Kniha o modulech povrchů
- Kulikov, Val.S. (2001) [1994], „Chow variety“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Geometrická invariantní teorie. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (2)]. 34 (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. PAN 1304906.
- Gelfand, Izrael M.; Kapranov, Michail M.; Zelevinsky, IAndrei V. (1994). Diskriminující, výsledné a vícerozměrné determinanty. Birkhäuser, Boston, MA. ISBN 978-0-8176-4771-1.