Symetrický součin algebraické křivky - Symmetric product of an algebraic curve

v matematika, n-složit symetrický součin z algebraická křivka C je kvocientový prostor z n-složit kartézský součin

C × C × ... × C

nebo Cⁿ podle skupinová akce z symetrická skupina na n písmena permutující faktory. Existuje jako hladký algebraická rozmanitost ΣⁿC; -li C je kompaktní povrch Riemann je to tedy a komplexní potrubí. Jeho zájem ve vztahu ke klasické geometrii křivek je ten, že jeho body odpovídají efektivní dělitelé na C stupněn, to znamená, formální částky bodů se zápornými celočíselnými koeficienty.

Pro C the projektivní linie (řekněme Riemannova koule ) ΣⁿC lze identifikovat pomocí projektivní prostor dimenzen.

Li G má rod G ≥ 1 pak ΣⁿC jsou úzce spjaty s Jacobian odrůda J z C. Přesněji pro n přijímání hodnot až G tvoří posloupnost aproximací na J zdola: jejich obrázky v J pod přidáním dne J (vidět theta-dělitel ) mají rozměr n a naplnit J, s některými identifikacemi způsobenými speciální dělitelé.

Pro G = n máme Σ^GC vlastně birationally ekvivalent na J; Jacobian je a fouká dolů symetrického součinu. To znamená, že na úrovni funkční pole je možné postavit J tím, že lineárně disjunktní kopie funkčního pole C, a v rámci jejich compositum přičemž pevné podpole symetrické skupiny. To je zdroj André Weil technika konstrukce J jako abstraktní odrůda z „birational data“. Jiné způsoby konstrukce J, například jako a Odrůda Picard, jsou nyní preferovány (Greg W. Anderson (Pokroky v matematice 172 (2002) 169–205) poskytl základní konstrukci jako řady matic). To ale znamená, že pro jakoukoli racionální funkci F na C

F(X₁) + ... + F(X_G)

dává smysl jako racionální funkce J, pro X_i držet se dál od pólů F.

Pro N > G mapování z ΣⁿC na J přidáním vláken J; když n je dostatečně velký (přibližně dvakrát G) toto se stává a projektivní prostor svazek ( Picardův balíček). Podrobně ji studovali například Kempf a Mukai.

Betti čísla a Eulerova charakteristika symetrického součinu

Nechat C být hladký a projektivní rodu G přes komplexní čísla C. Čísla Betti b_i(ΣⁿC) symetrického součinu je dáno vztahem

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {i = 0} ^ {2n} b_ {i} ( Sigma ^ {n} C) y ^ {n} u ^ {v } = { frac {(1 + y) ^ {2g}} {(1-uy) (1-u ^ {- 1} y)}}}$

a topologická Eulerova charakteristika E(ΣⁿC) je dáno

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} e ( Sigma ^ {n} C) p ^ {n} = (1-p) ^ {2g-2}.}$

Tady jsme nastavili u= -1 a y = - str ve vzorci dříve.

Reference

• Macdonald, I. G. (1962), „Symetrické produkty algebraické křivky“, Topologie, 1 (4): 319–343, doi:10.1016/0040-9383(62)90019-8, PAN  0151460
• Anderson, Greg W. (2002), „Abeliants and their application to an elementary construction of Jacobians“, Pokroky v matematice, 172 (2): 169–205, arXiv:matematika / 0112321, doi:10.1016 / S0001-8708 (02) 00024-5, PAN  1942403