Spojení Gauss – Manin - Gauss–Manin connection

v matematika, Spojení Gauss – Manin je spojení na jisté vektorový svazek přes základní prostor S rodiny algebraické odrůdy ${displaystyle V_ {s}}$ . Vlákna vektorového svazku jsou de Rhamova kohomologie skupiny ${displaystyle H_ {DR} ^ {k} (V_ {s})}$ vláken ${displaystyle V_ {s}}$ z rodiny. To bylo představeno Jurij Manin (1958 ) pro křivky S a tím Alexander Grothendieck (1966 ) ve vyšších rozměrech.

Ploché části svazku jsou popsány pomocí diferenciální rovnice; nejznámější z nich je Picard – Fuchsova rovnice, který vzniká, když je rodina odrůd považována za rodinu eliptické křivky. Z intuitivního hlediska, když je rodina místně triviální, lze třídy kohomologie přesunout z jednoho vlákna v rodině do blízkých vláken, což poskytuje koncept „ploché sekce“ v čistě topologických termínech. Existenci spojení lze odvodit z plochých částí.

Intuice

Zvažte hladký morfismus schémat ${displaystyle X o B}$ považujeme-li tyto prostory za složité analytické prostory, pak Ehresmannova věta o fibraci nám říká, že každé vlákno ${displaystyle X_ {b} = f ^ {- 1} (b)}$ je hladké potrubí a každé vlákno je difeomorfní. To nám říká, že de-Rhamovy kohomologické skupiny ${displaystyle H ^ {k} (X_ {b})}$ jsou všechny izomorfní. Toto pozorování můžeme použít k tomu, abychom se zeptali, co se stane, když se pokusíme odlišit třídy kohomologie pomocí vektorových polí od základního prostoru ${displaystyle B}$ .

Zvažte třídu kohomologie ${displaystyle alpha v H ^ {k} (X)}$ takhle ${displaystyle i_ {b} ^ {*} (alfa) v H ^ {k} (X_ {b})}$ kde ${displaystyle i_ {b} dvojtečka X_ {b} o X}$ je mapa zařazení. Pokud tedy vezmeme v úvahu třídy

{displaystyle left [i_ {b} ^ {ast} left ({frac {částečné ^ {i_ {1} + cdots + i_ {n}} alpha} {částečné b_ {1} ^ {i_ {1}} cdots částečné b_ {n} ^ {i_ {n}}}} ight) ight] v H ^ {k} (X_ {b})}

nakonec mezi nimi bude vztah, který se nazývá Picard-Fuchsova rovnice. Spojení Gauss – Manin je nástroj, který tyto informace kóduje do spojení na plochém vektorovém svazku ${displaystyle B}$ postavena z ${displaystyle H ^ {k} (X_ {b})}$ .^[1]

Příklad

Běžně citovaným příkladem je Konstrukce dwork z Picard – Fuchsova rovnice. Nechat

{displaystyle V_ {lambda} (x, y, z)}

být eliptická křivka

{displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -lambda xyz = 0;}

.

Tady, ${displaystyle lambda}$ je bezplatný parametr popisující křivku; je to prvek komplexní projektivní linie (rodina hyperplošin v ${displaystyle n-1}$ rozměry stupně n, definovaný analogicky, byl v posledních letech intenzivně studován v souvislosti s věta o modularitě a jeho rozšíření).^[2] Základní prostor svazku se tedy považuje za projektivní linii. Pro pevné ${displaystyle lambda}$ v základním prostoru zvažte prvek ${displaystyle omega _ {lambda}}$ přidružené skupiny de Rham cohomology

{displaystyle omega _ {lambda} v H_ {dR} ^ {1} (V_ {lambda}).}

Každý takový prvek odpovídá periodě eliptické křivky. Kohomologie je dvourozměrná. Spojení Gauss – Manin odpovídá diferenciální rovnici druhého řádu

{displaystyle (lambda ^ {3} -27) {frac {částečné ^ {2} omega _ {lambda}} {částečné lambda ^ {2}}} + 3lambda ^ {2} {frac {částečné omega _ {lambda}} {částečná lambda}} + lambda omega _ {lambda} = 0.}

Vysvětlení modulu D.

V abstraktnějším prostředí D-modul Teorie, existence takových rovnic je zahrnuta v obecné diskusi o přímý obraz.

Rovnice "vyplývající z geometrie"

Celá třída Gauss-Maninových spojení byla použita k pokusu formulovat koncept diferenciálních rovnic, které „vznikají z geometrie“. V souvislosti s Grothendieck str- dohad o zakřivení, Nicholas Katz dokázal, že třída Gauss-Maninových spojení s algebraickými číselnými koeficienty splňuje domněnku. Tento výsledek je přímo spojen s Siegel G-funkce koncept teorie transcendentních čísel, pro řešení meromorfních funkcí. The Bombieri – Dworkova domněnka, také přičítáno Yves André, který je uveden ve více než jedné verzi, předpokládá obrácený směr: solutions as G-funkce, nebo str-zakřivení nilpotentní mod str pro téměř všechna prvočísla str, znamená rovnice „vzniká z geometrie“.^[3]^[4]

Viz také

Reference

^ „Reference pro připojení Gauss – Manin“. math.stackexchange.com.
^ Katz, Nicholas M. (2009). „Další pohled na rodinu Dworků“. Algebra, aritmetika a geometrie (PDF). Boston: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. PAN 2641188.
^ Reiter, Stefan (2002). "K aplikacím Katzova funktoru střední konvoluce (Deformace diferenciálních rovnic a asymptotická analýza)" (PDF). Repozitář informací o výzkumu na Kjótské univerzitě.
^ Totaro, Burte (2007). "Eulerova a algebraická geometrie" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. oddíl 1.4. 44 (4): 541–559. doi:10.1090 / S0273-0979-07-01178-0. PAN 2338364.CS1 maint: umístění (odkaz)

Kulikov, Valentine (1998), Smíšené Hodgeovy struktury a singularity, Cambridge Tracts in Mathematics, s. 1–59 (Poskytuje a vynikající úvod do Gauss-Maninových spojení)
Dimca, Alexandru, Snopy v topologii, str. 55–57, 206–207 (Uvádí příklad Gauss-Maninových spojení a jejich vztahu k teorii D-modulu a korespondenci Riemmann-Hilbert)
Griffiths, Phillip, Období integrálů na algebraických varietách: Shrnutí hlavních výsledků a diskuse o otevřených problémech (Poskytuje rychlý náčrt věty o hlavní struktuře Gauss-Maninových spojení)
Barrientos, Ivan, Spojení Gauss-Manin a pravidelné singulární body. (PDF)
Grothendieck, Alexander (1966), „O de Rhamově kohomologii algebraických odrůd“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, dopis Atijahovi, 14. října 1963, 29 (29): 95–103, doi:10.1007 / BF02684807, ISSN 0073-8301, PAN 0199194
„Gauss-Maninovo spojení“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Manin, Ju. I. (1958), "Algebraické křivky nad poli s diferenciací", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (v Rusku), 22: 737–756, PAN 0103889 Anglický překlad v Manin, Ju. I. (1964) [1958], „Algebraické křivky nad poli s diferenciací“, Překlady Americké matematické společnosti: 22 článků o algebře, teorii čísel a diferenciální geometrii, 37„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7, PAN 0103889

[1] „Reference pro připojení Gauss – Manin“. math.stackexchange.com.

[2] Katz, Nicholas M. (2009). „Další pohled na rodinu Dworků“. Algebra, aritmetika a geometrie (PDF). Boston: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. PAN 2641188.

[3] Reiter, Stefan (2002). "K aplikacím Katzova funktoru střední konvoluce (Deformace diferenciálních rovnic a asymptotická analýza)" (PDF). Repozitář informací o výzkumu na Kjótské univerzitě.

[4] Totaro, Burte (2007). "Eulerova a algebraická geometrie" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. oddíl 1.4. 44 (4): 541–559. doi:10.1090 / S0273-0979-07-01178-0. PAN 2338364.CS1 maint: umístění (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]