Galoisova geometrie - Galois geometry

The Fano letadlo, projektivní rovina přes pole se dvěma prvky je jedním z nejjednodušších objektů v Galoisově geometrii.

Galoisova geometrie (tak pojmenovaný po francouzském matematikovi z 19. století Évariste Galois ) je pobočkou společnosti konečná geometrie to se týká algebraický a analytická geometrie přes konečné pole (nebo Galoisovo pole).^[1] Užší, A Galoisovu geometrii lze definovat jako a projektivní prostor přes konečné pole.^[2]

Mezi předměty studia patří afinní a projektivní prostory nad konečnými poli a různými strukturami, které jsou v nich obsaženy. Zejména, oblouky, ovály, hyperovals, jednotkové jednotky, blokovací sady, vejci, čepice, spready a všechny konečné analogie struktur nalezené v neomezených geometriích. Vektorové prostory definované přes konečná pole hrají významnou roli, zejména ve stavebních metodách.

Projektivní prostory nad konečnými poli

Zápis

Ačkoli obecná notace projektivní geometrie je někdy používán, je běžnější označovat projektivní prostory nad konečnými poli pomocí $PG (n, q)$ , kde $n$ je "geometrický" rozměr (viz níže) a $q$ je pořadí konečného pole (nebo Galoisova pole) $GF (q)$ , což musí být celé číslo, které je prvočíslem nebo prvočíslem.

The geometrický kóta ve výše uvedeném zápisu odkazuje na systém, přičemž čáry jsou 1-rozměrné, roviny jsou 2-rozměrné, body jsou 0-rozměrné atd. Modifikátor, někdy termín projektivní namísto geometrický je použito, je nezbytné, protože tento koncept dimenze se liší od konceptu použitého pro vektorové prostory (tj. počet prvků v základně). Normálně mít dva různé pojmy se stejným názvem nezpůsobuje velké potíže v oddělených oblastech kvůli kontextu, ale v tomto předmětu hrají důležité role jak vektorové prostory, tak projektivní prostory a je velmi pravděpodobné, že dojde k záměně. Koncept vektorového prostoru je někdy označován jako algebraický dimenze.^[3]

Konstrukce

Nechat $V = V (n + 1, q)$ označuje vektorový prostor (algebraické) dimenze $n + 1$ definováno přes konečné pole $GF (q)$ . Projektivní prostor $PG (n, q)$ se skládá ze všech pozitivních (algebraických) dimenzionálních vektorových podprostorů $PROTI$ . Alternativním způsobem, jak zobrazit konstrukci, je definovat bodů z $PG (n, q)$ jako třídy ekvivalence nenulových vektorů $PROTI$ pod vztah ekvivalence přičemž dva vektory jsou ekvivalentní, pokud je jeden a skalární násobek toho druhého. Subprostory se poté vytvoří z bodů pomocí definice lineární nezávislost sad bodů.

Podprostory

Vektorový podprostor algebraické dimenze $d + 1$ z $PROTI$ je (projektivní) podprostor $PG (n, q)$ geometrické dimenze $d$ . Projektivní podprostory dostávají běžné geometrické názvy; body, čáry, roviny a tělesa jsou 0,1,2 a 3-rozměrné podprostory. Celý prostor je $n$ -dimenzionální podprostor a ( $n - 1$ ) -dimenzionální podprostor se nazývá a nadrovina (nebo prime).

Počet vektorových podprostorů algebraické dimenze $d$ ve vektorovém prostoru $PROTI(n, q)$ je dán Gaussovský binomický koeficient,

{ displaystyle left [{ begin {matrix} n d end {matrix}} right] _ {q} = { frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} - q) cdots (q ^ {n} -q ^ {d-1})} {(q ^ {d} -1) (q ^ {d} -q) cdots (q ^ {d} -q ^ {d-1})}}.}

Proto je počet $k$ dimenzionální projektivní podprostory v $PG (n, q)$ darováno

{ displaystyle left [{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right] _ {q} = { frac {(q ^ {n + 1} -1) ( q ^ {n + 1} -q) cdots (q ^ {n + 1} -q ^ {k})} {(q ^ {k + 1} -1) (q ^ {k + 1} -q ) cdots (q ^ {k + 1} -q ^ {k})}}.}

Tedy například počet řádků ( $k$ = 1) v PG (3,2) je

{ displaystyle left [{ begin {matrix} 4 2 end {matrix}} right] _ {2} = { frac {(2 ^ {4} -1) (2 ^ {4} - 2)} {(2 ^ {2} -1) (2 ^ {2} -2)}} = { frac {(15) (14)} {(3) (2)}} = 35.}

Z toho vyplývá, že celkový počet bodů ( $k$ = 0) z $P = PG (n, q)$ je

{ displaystyle left [{ begin {matrix} n + 1 1 end {matrix}} right] _ {q} = { frac {(q ^ {n + 1} -1)} {( q-1)}} = q ^ {n} + q ^ {n-1} + cdots + q + 1.}

To se také rovná počtu hyperplánů $P$ .

Počet řádků procházejících bodem $P$ lze vypočítat jako ${ displaystyle q ^ {n-1} + q ^ {n-2} + cdots + q + 1}$ a to je také počet hyperplánů procházejícím pevným bodem.^[4]

Nechat $U$ a $Ž$ být podprostory geometrie Galois $P = PG (n, q)$ . Křižovatka $U \cap Ž$ je podprostor o $P$ , ale množina teoretických unií nemusí být. The připojit se těchto podprostorů, označené $< U, Ž >$ , je nejmenší podprostor $P$ který obsahuje obojí $U$ a $Ž$ . Rozměry spojení a průniku těchto dvou podprostorů souvisí podle vzorce,

{ displaystyle | | = | U | + | W | - | U cap W |.}

Souřadnice

S ohledem na pevný základ, každý vektor v $PROTI$ je jednoznačně reprezentován ( $n + 1$ ) -tuple prvků $GF (q)$ . Projektivní bod je třída ekvivalence vektorů, takže existuje mnoho různých souřadnic (vektorů), které odpovídají stejnému bodu. Všechny však navzájem souvisejí, protože každý je nenulovým skalárním násobkem ostatních. Tak vznikne koncept homogenních souřadnic používaných k reprezentaci bodů projektivního prostoru.

Dějiny

Gino Fano byl jedním z prvních autorů v oblasti Galoisových geometrií. Ve svém článku z roku 1892^[5] o prokázání nezávislosti jeho souboru axiomů pro projektivní n-prostor,^[6] mimo jiné zvažoval důsledky toho, že a čtvrtý harmonický bod být rovno jeho konjugátu. To vede ke konfiguraci sedmi bodů a sedmi linií obsažených v konečném trojrozměrném prostoru s 15 body, 35 liniemi a 15 rovinami, ve kterých každá linie obsahovala pouze tři body.^[5]^:114 Všechny roviny v tomto prostoru se skládají ze sedmi bodů a sedmi linií a jsou nyní známé jako Fano letadla. Fano dále popsal Galoisovy geometrie libovolné dimenze a hlavních řádů.

George Conwell dal časnou aplikaci Galoisovy geometrie v roce 1910, když charakterizoval řešení Kirkmanova školačka problém jako oddíl sad šikmé čáry v PG (3,2), trojrozměrná projektivní geometrie nad Galoisovým polem GF (2).^[7]Podobně jako metody geometrie čar v prostoru nad polem charakteristika 0, Conwell použit Plückerovy souřadnice v PG (5,2) a identifikoval body představující čáry v PG (3,2) jako body na Klein quadric.

V roce 1955 Beniamino Segre charakterizoval ovály pro q zvláštní. Segreova věta uvádí, že v Galoisově geometrii lichého řádu (tj. projektivní roviny definované přes konečné pole lichého charakteristický ) každý ovál je kónický. Tento výsledek se často připisuje založení Galoisovy geometrie jako významné oblasti výzkumu. V roce 1958 Mezinárodní matematický kongres Segre představil průzkum výsledků do té doby známé geometrie Galois.

Viz také

Geometrie dopadu

Poznámky

^ SpringerLink
^ "Projektivní prostory nad konečným polem, jinak známé jako Galoisovy geometrie, ...", (Hirschfeld & Thas 1992 )
^ Existují autoři, kteří tento termín používají hodnost pro algebraickou dimenzi. Autoři, kteří to dělají, často používají dimenze při diskusi o geometrické dimenzi.
^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, str. 24-25
^ ^A ^b Fano, G. (1892), „Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva“, Giornale di Matematiche, 30: 106–132
^ Collino, Conté a Verra 2013, str. 6
^ George M. Conwell (1910) „Tříprostorový PG (3,2) a jeho skupiny“, Annals of Mathematics 11:60–76 doi:10.2307/1967582

Reference

Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektivní geometrie / Od základů k aplikacím, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). „O životě a vědecké práci Gina Fana“. arXiv:1311.7177.
De Beule, Jan; Storme, Leo (2011), Aktuální výzkumná témata v geometrii Galois, Vydavatelé Nova Science, ISBN 978-1-61209-523-3
Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projektivní geometrie přes konečná pole, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1, s důrazem na rozměry jedna a dvě.
Hirschfeld, J. W. P. (1985), Konečné projektivní prostory tří dimenzí, Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8, rozměr 3.
Hirschfeld, J. W. P.; Thas, J. A. (1992), Obecné geometrie Galois, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853537-9, zacházení s obecnou dimenzí.

externí odkazy

Galoisova geometrie na Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink

[1] SpringerLink

[2] "Projektivní prostory nad konečným polem, jinak známé jako Galoisovy geometrie, ...", (Hirschfeld & Thas 1992 )

[3] Existují autoři, kteří tento termín používají hodnost pro algebraickou dimenzi. Autoři, kteří to dělají, často používají dimenze při diskusi o geometrické dimenzi.

[4] Beutelspacher & Rosenbaum 1998, str. 24-25

[Fano1-5] A ^b Fano, G. (1892), „Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva“, Giornale di Matematiche, 30: 106–132

[6] Collino, Conté a Verra 2013, str. 6

[7] George M. Conwell (1910) „Tříprostorový PG (3,2) a jeho skupiny“, Annals of Mathematics 11:60–76 doi:10.2307/1967582

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]