Prehomogenní vektorový prostor - Prehomogeneous vector space

V matematice, a prehomogenní vektorový prostor (PVS) je konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI společně s podskupinou G z obecná lineární skupina GL (PROTI) takové, že G má otevřený hustý obíhat v PROTI. Prehomogenní vektorové prostory byly zavedeny pomocí Mikio Sato v roce 1970 a mají mnoho aplikací v geometrie, teorie čísel a analýza, stejně jako teorie reprezentace. Neredukovatelné PVS klasifikovali Sato a Tatsuo Kimura v roce 1977 až do transformace známé jako „rošáda“. Jsou rozděleny do dvou typů, podle toho, zda je jejich poloviční část G jedná prehomogenně nebo ne. Pokud tomu tak není, je zde homogenní polynom PROTI který je neměnný pod polojednodušou částí G.

Nastavení

V prostředí Sato, G je algebraická skupina a PROTI je racionální reprezentace G který má (neprázdnou) otevřenou oběžnou dráhu v Zariski topologie. PVS však lze studovat také z hlediska Lieovy teorie: například v Knappovi (2002), G je komplexní Lieova skupina a PROTI je holomorfní znázornění G s otevřenou hustou oběžnou dráhou. Oba přístupy jsou v zásadě stejné a teorie má platnost nad reálnými čísly. Předpokládáme, pro jednoduchost zápisu, že akce G na PROTI je věrné zastoupení. Poté můžeme identifikovat G s jeho obrazem v GL (PROTI), i když v praxi je někdy vhodné nechat to G být krycí skupina.

Ačkoli prehomogenní vektorové prostory se nutně nerozkládají na přímé součty neredukovatelných, je přirozené studovat neredukovatelné PVS (tj. Když PROTI je neredukovatelné zastoupení G). V tomto případě věta o Élie Cartan ukázat to

G ≤ GL (PROTI)

je reduktivní skupina, s centrum to je nanejvýš jednorozměrné. To spolu se zjevným dimenzionálním omezením

ztlumit G ≥ dim PROTI,

je klíčovou složkou klasifikace Sato – Kimura.

Rošáda

Klasifikaci PVS komplikuje následující skutečnost. Předpokládat m > n > 0 a PROTI je m-dimenzionální reprezentace G nad polem F. Pak:

${displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ je PVS právě tehdy ${displaystyle (G imes SL (m-n), V ^ {*} otimes mathbb {F} ^ {m-n})}$ je PVS.

Důkazem je pozorování, že obě podmínky jsou ekvivalentní existenci otevřené husté oběžné dráhy akce G na Grassmannian zn- letadla v PROTI, protože je to isomorfní s Grassmannian z (m-n) - letadla v PROTI^*.

(V případě, že G je redukční, dvojice (G,PROTI) je ekvivalentní páru (G, PROTI^*) automatismem z G.)

Tato transformace PVS se nazývá rošáda. Vzhledem k PVS PROTI, nový PVS lze získat tenzorováním PROTI s F a rošádou. Opakováním tohoto procesu a přeskupením tenzorových produktů lze získat mnoho nových příkladů, o kterých se říká, že jsou „ekvivalentní k rošádu“. PVS lze tedy seskupit do tříd rovnocennosti rošády. Sato a Kimura ukazují, že v každé takové třídě existuje v podstatě jeden PVS s minimální dimenzí, který nazývají „redukovaný“, a klasifikují redukovaný neredukovatelný PVS.

Klasifikace

Klasifikace neredukovatelného sníženého PVS (G,PROTI) rozděluje se na dva případy: pro které G je polojediný a pro které je redukční s jednorozměrným středem. Li G je polojednoduchý, je (možná zastřešením) podskupiny SL (PROTI), a tedy G× GL (1) působí prehomogenně na PROTI, s jednorozměrným středem. Vylučujeme takové triviální rozšíření polojednodušého PVS z PVS s jednorozměrným středem. Jinými slovy, v případě, že G má jednorozměrný střed, předpokládáme, že poloviční část ano ne jednat prehomogenně; z toho vyplývá, že existuje relativní invariant, tj. invariantní funkce pod polojednoduchou částí G, což je do jisté míry homogenní d.

To umožňuje omezit pozornost na poloviční G ≤ SL (PROTI) a rozdělte klasifikaci takto:

1. (G,PROTI) je PVS;
2. (G,PROTI) není PVS, ale (G× GL (1),PROTI) je.

Ukázalo se však, že klasifikace je mnohem kratší, pokud povolíme nejen produkty s GL (1), ale také s SL (n) a GL (n). To je zcela přirozené, pokud jde o transformaci rošády, o které jsme hovořili dříve. Chceme tedy klasifikovat neredukovatelné snížené PVS z hlediska polojedinosti G ≤ SL (PROTI) a n ≥ 1 takový, že buď:

1. ${displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ je PVS;
2. ${displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ není PVS, ale ${displaystyle (G imes GL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ je.

V druhém případě existuje homogenní polynom který odděluje G× GL (n) obíhá do G× SL (n) oběžné dráhy.

To má výklad z hlediska grassmannianského gr_n(PROTI) z n- letadla v PROTI (alespoň pro n ≤ dim PROTI). V obou případech G působí na Gr_n(PROTI) s hustou otevřenou oběžnou dráhou U. V prvním případě doplněk Gr_n(PROTI)-U má kodimenzionální ≥ 2; v druhém případě se jedná o a dělitel do určité míry da relativní invariant je homogenní polynom stupně nd.

V následujícím bude seznam klasifikací uveden přes komplexní čísla.

Obecné příklady

G	PROTI	Typ 1	Typ 2	Izotropní skupina typu 2	Stupeň
${displaystyle Gsubseteq SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	n ≥ m+1	n = m	${displaystyle G}$	m
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	m-1 ≥ n ≥ 1*
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$	m zvláštní, n = 1,2	m dokonce, n = 1	${displaystyle Sp (m, mathbb {C})}$	m/2
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$		n = 1	${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	m
${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$		m-1 ≥ n ≥ 1*	${displaystyle SO (n, mathbb {C}) imes SO (m-n, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Sp (2m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {2m}}$	2m-1 ≥ n ≥ 1*, n zvláštní	2m-1 ≥ n ≥ 1*, n dokonce	${displaystyle Sp (n, mathbb {C}) imes Sp (2m-n, mathbb {C})}$	1

^* Přísně vzato se musíme omezit na n ≤ (dim PROTI) / 2 k získání zmenšeného příkladu.

Nepravidelné příklady

Typ 1

${displaystyle Spin (10, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {16}}$

Typ 2

${displaystyle Sp (2m, mathbb {C}) imes SO (3, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {2m} otimes mathbb {C} ^ {3}}$

Oba tyto příklady jsou PVS pouze pro n=1.

Zbývající příklady

Zbývající příklady jsou typu 2. Aby se zabránilo diskusi o objevování konečných skupin, seznamy představují Lež algebra izotropní skupiny spíše než samotné izotropické skupiny.

G	PROTI	n	Izotropní algebra	Stupeň
${displaystyle SL (2, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {3} mathbb {C} ^ {2}}$	1	0	4
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle SL (7, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {7}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	7
${displaystyle SL (8, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {8}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	16
${displaystyle SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	0	6
${displaystyle SL (5, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	3,4	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), 0}$	5,10
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$	6
${displaystyle SL (3, mathbb {C}) je SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} často mathbb {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C}) imes {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C})}$	6
${displaystyle Sp (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (7, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {8}}$	1,2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,2,2
${displaystyle Spin (9, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	1	${displaystyle {mathfrak {spin}} (7, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Spin (10, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} obrázky {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) obrázky {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,4
${displaystyle Spin (11, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (5, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (6, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (14, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {64}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} je {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	8
${displaystyle G_ {2} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}), {mathfrak {gl}} (2, mathbb {C})}$	2,2
${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {so}} (8, mathbb {C})}$	3,6
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {56}}$	1	${displaystyle {mathfrak {e}} _ {6} ^ {mathbb {C}}}$	4

Tady ${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6} cong mathbb {C} ^ {14}}$ označuje prostor 3-forem, jejichž kontrakce s danou symplektickou formou je nulová.

Důkazy

Sato a Kimura stanovují tuto klasifikaci vypracováním seznamu možných neredukovatelných prehomogenních (G,PROTI) s tím, že G je redukční a rozměrové omezení. Poté zkontrolují, zda je každý člen tohoto seznamu prehomogenní nebo ne.

Existuje však obecné vysvětlení, proč většina párů (G,PROTI) v klasifikaci jsou prehomogenní, pokud jde o izotropní reprezentace zobecněné odrůdy vlajky. V roce 1974 Richardson poznamenal, že pokud H je polojednoduchá Lieova skupina s a parabolická podskupina P, pak akce P na nilradikální ${displaystyle {mathfrak {p}} ^ {perp}}$ jeho Lieovy algebry má hustou otevřenou oběžnou dráhu. To ukazuje zejména (a bylo zaznamenáno nezávisle uživatelem Vinberg v roce 1975), že Levi faktor G z P působí prehomogenně na ${displaystyle V: = {mathfrak {p}} ^ {perp} / [{mathfrak {p}} ^ {perp}, {mathfrak {p}} ^ {perp}]}$. Téměř všechny příklady v klasifikaci lze získat použitím této konstrukce s P maximální parabolická podskupina jednoduché Lieovy skupiny H: jsou klasifikovány podle připojených Dynkinovy ​​diagramy s jedním rozlišovacím uzlem.

Aplikace

Jedním z důvodů, proč jsou PVS zajímavé, je to, že klasifikují obecné objekty, které vznikají v G-invariantní situace. Například pokud G= GL (7), pak výše uvedené tabulky ukazují, že v rámci akce jsou obecné 3 formy Ga stabilizátor takové 3-formy je izomorfní s výjimečnou Lieovou skupinou G₂.

Další příklad se týká prehomogenních vektorových prostorů s kubickým relativním invariantem. Podle klasifikace Sato-Kimura existují v podstatě čtyři takové příklady a všechny pocházejí ze složitých izotropních reprezentací hermitovské symetrické prostory pro větší skupinu H (tj., G je polojediná část stabilizátoru bodu a PROTI je odpovídající tečna zastoupení).

V každém případě obecný bod v PROTI identifikuje to se složitostí a Jordan algebra 3 x 3 poustevnické matice (přes divize algebry R, C, H a Ó a kubický relativní invariant je identifikován vhodným determinantem. Izotropní algebra takového obecného bodu, Lieova algebra G a Lieova algebra H uveďte složitosti prvních tří řádků Freudenthal magický čtverec.

H	G	PROTI	Izotropní algebra	Jordan algebra
${displaystyle mathrm {Sp} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C}) je SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} často mathbb {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {6}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {H})}$
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {O})}$

Jiné hermitovské symetrické prostory poskytují prehomogenní vektorové prostory, jejichž obecné body definují Jordanské algebry podobným způsobem.

H	G	PROTI	Izotropní algebra	Jordan algebra
${displaystyle mathrm {Sp} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C}) imes mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {n} často mathbb {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (4n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {2n}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {H})}$
${displaystyle mathrm {SO} (m + 2, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (m-1, mathbb {C})}$	${displaystyle J (m-1)}$

Jordánská algebra J(m-1) v posledním řádku je spinový faktor (což je vektorový prostor) R^m−1 ⊕ R, se strukturou Jordanovy algebry definovanou pomocí vnitřního produktu na R^m−1). Snižuje se na ${displaystyle J_ {2} (mathbb {R}), J_ {2} (mathbb {C}), J_ {2} (mathbb {H}), J_ {2} (mathbb {O})}$ pro m= 3, 4, 6 a 10.

Vztah mezi hermitovskými symetrickými prostory a Jordanovými algebrami lze vysvětlit pomocí Trojité systémy Jordan.

Reference

• Kimura, Tatsuo (2003), Úvod do prehomogenních vektorových prostorů Překlady matematických monografií, 215„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2767-3, PAN  1944442
• Knapp, Anthony (2002), Skupiny lži nad rámec úvoduPokrok v matematice, 140 (2. vyd.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN  0-8176-4259-5, PAN  1920389 Viz kapitola X.
• Sato, Mikio; Kimura, Tatsuo (1977), "Klasifikace neredukovatelných prehomogenních vektorových prostorů a jejich relativních invarianty", Nagojský matematický deník, 65: 1–155, doi:10.1017 / s0027763000017633, PAN  0430336
• Richardson, Roger Wolcott, Jr. (1974), „Třídy konjugace v parabolických podskupinách polojednodušých algebraických skupin“, Býk. London Math. Soc., 6: 21–24, doi:10.1112 / blms / 6.1.21, PAN  0330311
• Sato, Mikio (1990), „Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part) - the English translation of Sato's lecture from Shintani's note“, Nagojský matematický deník, 120: 1–34, doi:10.1017 / S0027763000003214, ISSN  0027-7630, PAN  1086566
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972), „On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 69: 1081–1082, doi:10.1073 / pnas.69.5.1081, ISSN  0027-8424, JSTOR  61638, PAN  0296079, PMC  426633, PMID  16591979
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974), „On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces“, Annals of Mathematics, Druhá série, 100: 131–170, doi:10.2307/1970844, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970844, PAN  0344230
• Vinberg, Ernest (1975), „Klasifikace nilpotentních prvků klasifikovaných Lieových algeber“, Sovětská matematika. Dokl., 16 (6): 1517–1520, PAN  0506488