Rám (lineární algebra) - Frame (linear algebra)
v lineární algebra, a rám z vnitřní produktový prostor je zobecnění a na základě vektorového prostoru na sady, které mohou být lineárně závislé. V terminologii zpracování signálu, rámec poskytuje redundantní a stabilní způsob reprezentace a signál.[1] Rámečky se používají v detekce a oprava chyb a návrh a analýza filtrovat banky a obecněji v aplikovaná matematika, počítačová věda, a inženýrství.[2]
Definice a motivace
Motivující příklad: výpočet základu z lineárně závislé množiny
Předpokládejme, že máme sadu vektorů ve vektorovém prostoru PROTI a chceme vyjádřit libovolný prvek jako lineární kombinace vektorů , to znamená, že chceme najít koeficienty takhle
Pokud je sada nezasahuje , pak takové koeficienty neexistují pro každý takový . Li rozpětí a také je lineárně nezávislé, tato sada tvoří a základ z a koeficienty jsou jednoznačně určeny . Pokud však rozpětí ale není lineárně nezávislý, otázka, jak určit koeficienty, se stává méně zjevnou, zejména pokud je nekonečné dimenze.
Vzhledem k tomu rozpětí a je lineárně závislá, jednou strategií je odstranění vektorů ze sady, dokud se nestane lineárně nezávislou a nevytvoří základ. S tímto plánem jsou problémy:
- Odebrání libovolných vektorů ze sady může způsobit její neschopnost rozpětí než se stane lineárně nezávislým.
- I když je možné navrhnout konkrétní způsob, jak odstranit vektory ze sady, dokud se nestane základem, může se tento přístup v praxi stát neproveditelným, pokud je sada velká nebo nekonečná.
- V některých aplikacích může být výhodou použít k reprezentaci více vektorů, než je nutné . To znamená, že chceme najít koeficienty bez demontáže prvků v . Koeficienty již nebude jednoznačně určeno . Proto vektor lze reprezentovat jako lineární kombinaci více než jedním způsobem.
Formální definice
Nechat PROTI být vnitřní produktový prostor a být sada vektorů v . Tyto vektory splňují stav rámu pokud existují kladná reálná čísla A a B takhle a pro každého v PROTI,
Sada vektorů, která splňuje podmínku rámce, je a rám pro vektorový prostor.[3]
Čísla A a B se nazývají dolní a horní hranice rámečku, resp.[3] Hranice rámce nejsou jedinečné, protože čísla jsou menší než A a větší než B jsou také platné hranice rámce. The optimální dolní mez je supremum všech dolních mezí a optimální horní mez je infimum všech horních mezí.
Rámeček se nazývá neúplné (nebo redundantní) pokud to není a základ pro vektorový prostor.
Analytický operátor
The operátor mapování k posloupnosti koeficientů se nazývá operátor analýzy rámu. Je definován:[4]
Použitím této definice můžeme přepsat podmínku rámce jako
kde levá a pravá norma označují normu v a střední normou je norma.
Operátor syntézy
The operátor adjoint analytického operátora se nazývá operátor syntézy rámu.[5]
Motivace pro spodní rám
Chceme ten vektor lze rekonstruovat z koeficientů . To je splněno, pokud existuje konstanta takové, že pro všechny my máme:
Nastavením a použitím linearity analytického operátoru dostaneme, že tato podmínka je ekvivalentní:
pro všechny což je přesně podmínka vázaná na spodní snímek.
Dějiny
Kvůli různým matematickým složkám obklopujícím rámce má teorie rámců kořeny harmonická a funkční analýza, teorie operátorů, lineární algebra, a teorie matic.[6]
The Fourierova transformace se používá již více než století jako způsob rozkládání a rozšiřování signálů. Fourierova transformace však maskuje klíčové informace týkající se okamžiku emise a doby trvání signálu. V roce 1946 Dennis Gabor byl schopen to vyřešit pomocí techniky, která současně snížila hluk, poskytla odolnost a vytvořila kvantování při zapouzdření důležitých charakteristik signálu.[1] Tento objev znamenal první soustředěné úsilí směrem k teorii rámců.
Stav rámce poprvé popsal Richard Duffin a Albert Charles Schaeffer v článku z roku 1952 o neharmonii Fourierova řada jako způsob výpočtu koeficientů v lineární kombinaci vektorů lineárně závislé sady polí (v jejich terminologii „Hilbertův prostor rám").[7] V 80. letech Stéphane Mallat, Ingrid Daubechies, a Yves Meyer použité rámce k analýze vlnky. Dnes jsou rámce spojeny s vlnami, signálem a zpracování obrazu, a komprese dat.
Vztah k základnám
Rámec splňuje zobecnění Parsevalova identita, jmenovitě podmínka rámce, při zachování normové ekvivalence mezi signálem a jeho sekvencí koeficientů.
Pokud je sada je rám z PROTI, to se klene PROTI. Jinak by existovala alespoň jedna nenulová který by byl kolmý na všechny . Pokud vložíme do rámcového stavu, získáme
proto , což je porušení počátečních předpokladů na spodní hranici rámce.
Pokud se sada vektorů rozprostírá PROTI, to není dostatečná podmínka pro volání sady rámce. Jako příklad zvažte s Tečkovaný produkt a nekonečná množina dána
Tato sada zahrnuje PROTI ale od , nemůžeme zvolit konečnou vazbu horního rámu B. V důsledku toho je sada není rám.
Aplikace
v zpracování signálu, každý vektor je interpretován jako signál. V této interpretaci je vektor vyjádřený jako lineární kombinace rámcových vektorů a redundantní signál. Pomocí rámce je možné vytvořit jednodušší a řídší reprezentaci signálu ve srovnání s rodinou elementárních signálů (tj. Představovat signál striktně se sadou lineárně nezávislých vektorů nemusí být vždy nejkompaktnější formou) .[8] Rámečky proto poskytují robustnost. Protože poskytují způsob produkce stejného vektoru v prostoru, lze signály kódovat různými způsoby. To usnadňuje odolnost proti chybám a odolnost vůči ztrátě signálu. Nakonec lze ke zmírnění použít redundanci hluk, který je relevantní pro obnovení, vylepšení a rekonstrukci signálů.
Při zpracování signálu je běžné předpokládat, že vektorový prostor je a Hilbertův prostor.
Speciální případy
Těsné rámečky
Rám je a těsný rám -li A = B; jinými slovy, rám vyhovuje zobecněné verzi Parsevalova identita. Například spojení k disjunktní ortonormální základy vektorového prostoru je těsný rám s A = B = k. Těsný rám je a Parseval rám (někdy nazývané a normalizovaný rám) pokud A = B = 1. Každý orthonormální základ je parsevalův rámec, ale obrácení není vždy pravdivé.
Rámec pro je pevně svázán s rámem A kdyby a jen kdyby
pro všechny .
Rámec se stejnou normou
Rám je rámec stejné normy (někdy nazývané a jednotný rám nebo a normalizovaný rám) pokud existuje konstanta C takhle pro každého i. Rámec stejné normy je a jednotkový normový rámec -li C = 1. Normový rámec parsevální (nebo těsné) jednotky je ortonormální základ; takový rám vyhovuje Parsevalova identita.
Rovnoběžné rámy
Rám je rovnoramenný rám pokud existuje konstanta C takhle pro každý jiný i a j.
Přesné rámečky
Rám je přesný rámeček pokud žádná řádná podmnožina rámu nepřekrývá vnitřní prostor produktu. Každý základ pro vnitřní produktový prostor je přesným rámem pro daný prostor (základem je tedy speciální případ rámečku).
Zobecnění
A Besselova sekvence je sada vektorů, která splňuje pouze horní hranici podmínky rámce.
Kontinuální snímek
Předpokládat H je Hilbertův prostor, X místně kompaktní prostor a je místně konečný Borelův rozměr na X. Pak sada vektorů v H, s mírou se říká, že je Kontinuální snímek pokud existují konstanty, takhle pro všechny .
Příklad
Vzhledem k diskrétní sadě a opatření kde je Diracova míra pak vlastnost souvislého rámce:
snižuje na:
a vidíme, že spojité rámce jsou skutečně přirozeným zobecněním výše zmíněných rámců.
Stejně jako v diskrétním případě můžeme definovat operátory analýzy, syntézy a rámce, když se jedná o spojité rámce.
Operátor kontinuální analýzy
Vzhledem k souvislému rámu the Operátor kontinuální analýzy je mapování operátora k posloupnosti koeficientů .
Je definován takto:
podle
Operátor kontinuální syntézy
Přidruženým operátorem operátoru kontinuální analýzy je Operátor kontinuální syntézy což je mapa:
podle
Kontinuální operátor rámce
Složení operátora kontinuální analýzy a operátora kontinuální syntézy je známé jako Kontinuální operátor rámce. Pro souvislý snímek , Kontinuální operátor rámce je definována takto: podle
Kontinuální duální snímek
Vzhledem k souvislému rámu a další souvislý snímek , pak se říká, že je Kontinuální duální snímek z pokud pro všechny splňuje následující podmínku :
Duální snímky
Podmínka rámce znamená existenci sady vektory se dvěma snímky s majetkem, který
pro všechny . To znamená, že rám spolu s jeho dvojitým rámem má stejnou vlastnost jako základ a jeho dvojí základ z hlediska rekonstrukce vektoru ze skalárních produktů.
Abychom vytvořili duální rámec, potřebujeme nejprve lineární mapování , volal operátor rámce, definováno jako
- .
Z této definice a linearita v prvním argumentu vnitřního produktu,
který, když je nahrazen v nerovnosti podmínek rámce, dává
pro každého .
Operátor rámce je samoadjung, pozitivní určitý, a má pozitivní horní a dolní mez. Inverzní z existuje a také je samo-adjunktní, pozitivně definitivní a má pozitivní horní a dolní hranici.
Duální snímek je definován mapováním každého prvku rámečku pomocí :
Abychom zjistili, že to má smysl, dovolte být prvkem a nechte
- .
Tím pádem
- ,
což to dokazuje
- .
Alternativně to můžeme nechat
- .
Vložením výše uvedené definice a použití vlastností a jeho inverzní,
což ukazuje
- .
Čísla jsou nazývány koeficienty rámu. Toto odvození dvojitého rámce je souhrnem části 3 v článku Duffina a Schaeffera.[7] Používají termín sdružený rám pro to, co se zde nazývá dvojitý rám.
Dvojitý rám se nazývá kanonický duální z protože funguje podobně jako a dvojí základ na základě.
Když rám je neúplný, vektor lze psát jako lineární kombinaci více než jedním způsobem. To znamená, že existují různé možnosti koeficientů takhle . To nám umožňuje určitou volnost při volbě koeficientů jiný než . Je nutné, aby rám je neúplný pro jiné takové koeficienty existovat. Pokud ano, pak existují rámce pro který
pro všechny . Voláme dvojitý rám .
Kanonická dualita je vztah vzájemnosti, tj. Pokud je to rámec je kanonický duální rám z , pak je kanonický duální rám z .
Viz také
- k-rám
- Biortogonální vlnka
- Ortogonální vlnka
- Omezená vlastnost izometrie
- Schauderův základ
- Harmonická analýza
- Fourierova analýza
- Funkční analýza
Poznámky
- ^ A b Kovačević & Chebira 2008, str. 6.
- ^ Casazza, Kutyniok a Philipp 2013, str. 1.
- ^ A b Casazza, Kutyniok a Philipp 2013, str. 14.
- ^ Kovačević & Chebira 2008, str. 21.
- ^ Casazza, Kutyniok a Philipp 2013, str. 19.
- ^ Casazza, Kutyniok a Philipp 2013, str. 2.
- ^ A b Duffin & Schaeffer 1952.
- ^ Mallat 2009, str. 1.
Reference
- Casazza, Peter; Kutyniok, Gitta; Philipp, Friedrich (2013). "Úvod do teorie konečných rámců". Konečné rámce: teorie a aplikace. Berlín: Birkhäuser. s. 1–53. ISBN 978-0-8176-8372-6.
- Christensen, Ole (2003). Úvod do rámů a základen Riesz. Aplikovaná a numerická harmonická analýza. Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-8224-8. ISBN 978-1-4612-6500-9. PAN 1946982.
- Duffin, Richard James; Schaeffer, Albert Charles (1952). „Třída neharmonické Fourierovy řady“. Transakce Americké matematické společnosti. 72 (2): 341–366. doi:10.2307/1990760. JSTOR 1990760. PAN 0047179.
- Kovačević, Jelena; Chebira, Amina (2008). „Úvod do rámů“ (PDF). Základy a trendy ve zpracování signálu. 2 (1): 1–94. doi:10.1561/2000000006.
- Kovačevič, Jelena; Dragotti, Pier Luigi; Goyal, Vivek (2002). „Filtrovat rozšíření rámce banky pomocí mazání“ (PDF). Transakce IEEE na teorii informací. 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX 10.1.1.661.2699. doi:10.1109 / TIT.2002.1003832.
- Mallat, Stéphane (2009). Waveletová prohlídka zpracování signálu: Řídká cesta (PDF) (3. vyd.). Akademický tisk. ISBN 978-0-12-374370-1. Citováno 2020-08-01.