Ortogonální vlnka - Orthogonal wavelet
An ortogonální vlnka je vlnka jehož přidružené vlnková transformace je ortogonální To znamená, že inverzní vlnková transformace je adjoint Pokud je tato podmínka oslabena, může dojít k biortogonální vlnky.
Základy
The funkce škálování je rafinovatelná funkce To znamená, že je fraktální funkční rovnice, volal upřesňující rovnice (dvojrozměrný vztah nebo dilatační rovnice):
- ,
kde posloupnost z reálná čísla se nazývá škálovací sekvence nebo škálovací maska. Vlastní vlnka se získá podobnou lineární kombinací,
- ,
kde posloupnost reálných čísel se nazývá waveletová sekvence nebo waveletová maska.
Nutná podmínka pro ortogonalita waveletů je to, že měřítko sekvence je kolmá k jakýmkoli jeho posunům sudým počtem koeficientů:
- ,
kde je Kroneckerova delta.
V tomto případě je stejné číslo M = N koeficientů ve škálování jako ve waveletové posloupnosti, lze waveletovou posloupnost určit jako . V některých případech je zvoleno opačné znaménko.
Mizející momenty, polynomiální aproximace a plynulost
Nutnou podmínkou pro existenci řešení zušlechťovací rovnice je, že existuje kladné celé číslo A takové, které (viz Z-transformace ):
Maximální možný výkon A je nazýván polynomiální aproximační pořadí (nebo pol. výkon aplikace) nebo počet mizejících okamžiků. Popisuje schopnost reprezentovat polynomy až do určité míry A-1 s lineárními kombinacemi celočíselných překladů funkce změny měřítka.
V biortogonálním případě aproximační řád A z odpovídá A mizející okamžiky duální vlnky , toto je skalární produkty z s libovolným polynomem až do stupně A-1 jsou nula. V opačném směru je aproximační pořadí A z je ekvivalentní k A mizející okamžiky . V ortogonálním případě A a A shodovat se.
Postačující podmínka pro existenci funkce škálování je následující: pokud se rozloží a odhad
drží pro některé , pak zjemňovací rovnice má a n mnohokrát kontinuálně diferencovatelné řešení s kompaktní podporou.
Příklady
- Předpokládat pak a odhad platí pro n=A-2. Řešením jsou Schönbergové B-splajny řádu A-1, kde (A-1) -tý derivát je po částech konstantní, tedy (A-2) -tý derivát je Lipschitz kontinuální. A= 1 odpovídá indexové funkci jednotkového intervalu.
- A= 2 a str lineární lze psát jako
- Expanze tohoto polynomu stupně 3 a vložení 4 koeficientů do podmínky ortogonality má za následek Kladný kořen udává posloupnost škálování vlnky D4, viz níže.
Reference
- Ingrid Daubechies: Deset přednášek o vlnkách, SIAM 1992,