Úhly mezi plochami - Angles between flats

Koncept úhly mezi řádky v letadlo a mezi dvojicemi dvou linií, dvou rovin nebo linie a roviny v prostor lze zobecnit na libovolné dimenze. O tomto zevšeobecnění poprvé diskutoval Jordán.^[1] Pro jakýkoli pár byty v Euklidovský prostor libovolné dimenze lze definovat množinu vzájemných úhlů, které jsou neměnný pod izometrické transformace euklidovského prostoru. Pokud se byty neprotínají, jejich nejkratší vzdálenost je ještě jeden neměnný.^[1] Tyto úhly se nazývají kanonický^[2] nebo ředitel školy.^[3] Koncept úhlů lze zobecnit na dvojice bytů v konečném rozměru vnitřní produktový prostor přes komplexní čísla.

Jordanova definice

Nechat ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ být rozměry ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle l}$ v ${ displaystyle n}$ -rozměrný euklidovský prostor ${ displaystyle E ^ {n}}$ . Podle definice a překlad z ${ displaystyle F}$ nebo ${ displaystyle G}$ nemění jejich vzájemné úhly. Li ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ neprotínají se, učiní tak při jakémkoli překladu ${ displaystyle G}$ který mapuje nějaký bod v ${ displaystyle G}$ do nějakého bodu v ${ displaystyle F}$ . Lze tedy předpokládat bez ztráty obecnosti ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ protínají.

Jordan to ukazuje Kartézské souřadnice ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x _ { rho},}$ ${ displaystyle y_ {1}, tečky, y _ { sigma},}$ ${ displaystyle z_ {1}, tečky, z _ { tau},}$ ${ displaystyle u_ {1}, tečky, u _ { upsilon},}$ ${ displaystyle v_ {1}, tečky, v _ { alpha},}$ ${ displaystyle w_ {1}, tečky, w _ { alpha}}$ v ${ displaystyle E ^ {n}}$ pak lze definovat tak, že ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou popsány příslušně množinami rovnic

{ displaystyle x_ {1} = 0, tečky, x _ { rho} = 0,}

{ displaystyle u_ {1} = 0, tečky, u _ { upsilon} = 0,}

{ displaystyle v_ {1} = 0, tečky, v _ { alpha} = 0}

a

{ displaystyle x_ {1} = 0, tečky, x _ { rho} = 0,}

{ displaystyle z_ {1} = 0, tečky, z _ { tau} = 0,}

{ displaystyle v_ {1} cos theta _ {1} + w_ {1} sin theta _ {1} = 0, tečky, v _ { alpha} cos theta _ { alpha} + w_ { alpha} sin theta _ { alpha} = 0}

s ${ displaystyle 0 < theta _ {i} < pi / 2, i = 1, tečky, alpha}$ . Jordan tyto souřadnice volá kanonický. Podle definice úhly ${ displaystyle theta _ {i}}$ jsou úhly mezi ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ .

Nezáporná celá čísla ${ displaystyle rho, sigma, tau, upsilon, alfa}$ jsou omezeny

{ displaystyle rho + sigma + tau + upsilon +2 alpha = n,}

{ displaystyle sigma + tau + alpha = k,}

{ displaystyle sigma + upsilon + alpha = ell.}

U těchto rovnic kromě dimenzí úplně určit pět nezáporných celých čísel ${ displaystyle n, k}$ a ${ displaystyle ell}$ a číslo ${ displaystyle alpha}$ úhlů ${ displaystyle theta _ {i}}$ , nezáporné celé číslo ${ displaystyle sigma}$ musí být uveden. Toto je počet souřadnic ${ displaystyle y_ {i}}$ , jejichž odpovídajícími osami jsou ty, které leží zcela uvnitř obou ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ . Celé číslo ${ displaystyle sigma}$ je tedy dimenzí ${ displaystyle F cap G}$ . Sada úhlů ${ displaystyle theta _ {i}}$ mohou být doplněny ${ displaystyle sigma}$ úhly ${ displaystyle 0}$ to naznačit ${ displaystyle F cap G}$ má tu dimenzi.

Jordanův důkaz platí v zásadě beze změny, když ${ displaystyle E ^ {n}}$ je nahrazen ${ displaystyle n}$ -rozměrný vnitřní prostor produktu ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ přes komplexní čísla. (Pro úhly mezi podprostory, zobecnění na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ pojednává Galántai a Hegedũs ve smyslu níže variační charakterizace.^[4])^[1]

Úhly mezi podprostory

Teď nech ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ být podprostory z ${ displaystyle n}$ -rozměrný vnitřní prostor produktu nad nemovitý nebo komplexní čísla. Geometricky, ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou byty, takže platí Jordanova definice vzájemných úhlů. Kdy pro jakoukoli kanonickou souřadnici ${ displaystyle xi}$ symbol ${ displaystyle { hat { xi}}}$ označuje jednotkový vektor z ${ displaystyle xi}$ osa, vektory ${ displaystyle { hat {y}} _ {1}, tečky, { hat {y}} _ { sigma},}$ ${ displaystyle { hat {w}} _ {1}, tečky, { hat {w}} _ { alpha},}$ ${ displaystyle { hat {z}} _ {1}, tečky, { hat {z}} _ { tau}}$ pro muže ortonormální základ pro ${ displaystyle F}$ a vektory ${ displaystyle { hat {y}} _ {1}, tečky, { hat {y}} _ { sigma},}$ ${ displaystyle { hat {w}} '_ {1}, dots, { hat {w}}' _ { alpha},}$ ${ displaystyle { hat {u}} _ {1}, tečky, { hat {u}} _ { upsilon}}$ tvoří ortonormální základ pro ${ displaystyle G}$ , kde

{ displaystyle { hat {w}} '_ {i} = { hat {w}} _ {i} cos theta _ {i} + { hat {v}} _ {i} sin theta _ {i}, quad i = 1, dots, alpha.}

V souvislosti s kanonickými souřadnicemi lze tyto základní vektory volat kanonický.

Když ${ displaystyle a_ {i}, i = 1, tečky, k}$ označuje kanonické základní vektory pro ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle b_ {i}, i = 1, tečky, l}$ kanonické základní vektory pro ${ displaystyle G}$ pak vnitřní produkt ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {j} rangle}$ zmizí pro jakýkoli pár ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ kromě následujících.

{ displaystyle { begin {aligned} & langle { hat {y}} _ {i}, { hat {y}} _ {i} rangle = 1, && i = 1, dots, sigma, & langle { hat {w}} _ {i}, { hat {w}} '_ {i} rangle = cos theta _ {i}, && i = 1, dots, alpha . end {zarovnáno}}}

S výše uvedeným uspořádáním základních vektorů je matice vnitřních výrobků ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {j} rangle}$ je tedy úhlopříčka. Jinými slovy, pokud ${ displaystyle (a '_ {i}, i = 1, tečky, k)}$ a ${ displaystyle (b '_ {i}, i = 1, tečky, ell)}$ jsou libovolné ortonormální báze v ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ pak skutečné, ortogonální nebo unitární transformace od základu ${ displaystyle (a '_ {i})}$ do základu ${ displaystyle (a_ {i})}$ a ze základu ${ displaystyle (b '_ {i})}$ do základu ${ displaystyle (b_ {i})}$ realizovat a rozklad singulární hodnoty matice vnitřních produktů ${ displaystyle langle a '_ {i}, b' _ {j} rangle}$ . Diagonální maticové prvky ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {i} rangle}$ jsou singulární hodnoty druhé matice. Díky jedinečnosti rozkladu singulární hodnoty jsou vektory ${ displaystyle { hat {y}} _ {i}}$ jsou pak jedinečné až do skutečné, ortogonální nebo jednotné transformace mezi nimi a vektory ${ displaystyle { hat {w}} _ {i}}$ a ${ displaystyle { hat {w}} '_ {i}}$ (a tedy ${ displaystyle { hat {v}} _ {i}}$ ) jsou jedinečné až do stejné reálné, ortogonální nebo unitární transformace aplikované současně na množiny vektorů ${ displaystyle { hat {w}} _ {i}}$ spojené se společnou hodnotou ${ displaystyle theta _ {i}}$ a k odpovídajícím sadám vektorů ${ displaystyle { hat {w}} '_ {i}}$ (a tedy k odpovídajícím sadám ${ displaystyle { hat {v}} _ {i}}$ ).

Singulární hodnota ${ displaystyle 1}$ lze interpretovat jako ${ displaystyle cos , 0}$ odpovídá úhlům ${ displaystyle 0}$ představené výše a spojené s ${ displaystyle F cap G}$ a singulární hodnotu ${ displaystyle 0}$ lze interpretovat jako ${ displaystyle cos pi / 2}$ odpovídající pravým úhlům mezi ortogonální mezery ${ displaystyle F cap G ^ { bot}}$ a ${ displaystyle F ^ { bot} čepice G}$ , kde je horní index ${ displaystyle bot}$ označuje ortogonální doplněk.

Variační charakterizace

The variační charakterizace singulárních hodnot a vektorů implikuje jako speciální případ variační charakterizaci úhlů mezi podprostory a jejich přidruženými kanonickými vektory. Tato charakteristika zahrnuje úhly ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle pi / 2}$ výše a objedná úhly zvýšením hodnoty. Může mít podobu níže uvedené alternativní definice. V této souvislosti je zvykem mluvit ředitel školy úhly a vektory.^[3]

Definice

Nechat ${ displaystyle V}$ být vnitřním produktovým prostorem. Vzhledem k tomu, dva podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}, { mathcal {W}}}$ s ${ displaystyle dim ({ mathcal {U}}) = k leq dim ({ mathcal {W}}): = ell}$ , pak existuje posloupnost ${ displaystyle k}$ úhly ${ displaystyle 0 leq theta _ {1} leq theta _ {2} leq cdots leq theta _ {k} leq pi / 2}$ nazývá se hlavní úhly, první je definován jako

{ displaystyle theta _ {1}: = min left { arccos left ( left. { frac {| langle u, w rangle |} { | u | | w | }} right) , right | , u in { mathcal {U}}, w in { mathcal {W}} right } = úhel (u_ {1}, w_ {1} ),}

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ je vnitřní produkt a ${ displaystyle | cdot |}$ indukované norma. Vektory ${ displaystyle u_ {1}}$ a ${ displaystyle w_ {1}}$ jsou odpovídající hlavní vektory.

Další hlavní úhly a vektory jsou poté definovány rekurzivně pomocí

{ displaystyle theta _ {i}: = min left { left. arccos left ({ frac {| langle u, w rangle |} { | u | | w | }} right) , right | , u in { mathcal {U}}, ~ w in { mathcal {W}}, ~ u perp u_ {j}, ~ w perp w_ { j} quad forall j in {1, ldots, i-1 } right }.}

To znamená, že hlavní úhly ${ displaystyle ( theta _ {1}, ldots, theta _ {k})}$ tvoří sadu minimalizovaných úhlů mezi dvěma podprostory a hlavní vektory v každém podprostoru jsou navzájem kolmé.

Příklady

Geometrický příklad

Geometricky jsou to podprostory byty (body, úsečky, roviny atd.), které obsahují počátek, tedy jakékoli dva podprostory protínají alespoň počátek. Dva dvourozměrné podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ generovat sadu dvou úhlů. V trojrozměrném Euklidovský prostor, podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ jsou buď identické, nebo jejich průsečík tvoří přímku. V prvním případě obojí ${ displaystyle theta _ {1} = theta _ {2} = 0}$ . Pouze v druhém případě ${ displaystyle theta _ {1} = 0}$ , kde vektory ${ displaystyle u_ {1}}$ a ${ displaystyle w_ {1}}$ jsou na křižovatce ${ displaystyle { mathcal {U}} cap { mathcal {W}}}$ a mají stejný směr. Úhel ${ displaystyle theta _ {2}> 0}$ bude úhel mezi podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ v ortogonální doplněk na ${ displaystyle { mathcal {U}} cap { mathcal {W}}}$ . Představujeme-li si úhel mezi dvěma rovinami ve 3D, člověk intuitivně myslí na největší úhel, ${ displaystyle theta _ {2}> 0}$ .

Algebraický příklad

Ve 4-dimenzionálním reálném souřadnicovém prostoru R⁴, nechte dvourozměrný podprostor ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ být překlenut ${ displaystyle u_ {1} = (1,0,0,0)}$ a ${ displaystyle u_ {2} = (0,1,0,0)}$ a nechte dvourozměrný podprostor ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ být překlenut ${ displaystyle w_ {1} = (1,0,0, a) / { sqrt {1 + a ^ {2}}}}$ a ${ displaystyle w_ {2} = (0,1, b, 0) / { sqrt {1 + b ^ {2}}}}$ s některými skutečnými ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ takhle ${ displaystyle | a | <| b |}$ . Pak ${ displaystyle u_ {1}}$ a ${ displaystyle w_ {1}}$ jsou ve skutečnosti dvojice hlavních vektorů odpovídajících úhlu ${ displaystyle theta _ {1}}$ s ${ displaystyle cos ( theta _ {1}) = 1 / { sqrt {1 + a ^ {2}}}}$ , a ${ displaystyle u_ {2}}$ a ${ displaystyle w_ {2}}$ jsou hlavní vektory odpovídající úhlu ${ displaystyle theta _ {2}}$ s ${ displaystyle cos ( theta _ {2}) = 1 / { sqrt {1 + b ^ {2}}}.}$

Vytvořit dvojici podprostorů s libovolnou danou sadou ${ displaystyle k}$ úhly ${ displaystyle theta _ {1}, ldots, theta _ {k}}$ v ${ displaystyle 2k}$ (nebo větší) dimenzionální Euklidovský prostor, vezměte podprostor ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ na ortonormálním základě ${ displaystyle (e_ {1}, ldots, e_ {k})}$ a dokončit to na ortonormální bázi ${ displaystyle (e_ {1}, ldots, e_ {n})}$ euklidovského prostoru, kde ${ displaystyle n geq 2k}$ . Potom ortonormální základ druhého podprostoru ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ je např.

{ displaystyle ( cos ( theta _ {1}) e_ {1} + sin ( theta _ {1}) e_ {k + 1}, ldots, cos ( theta _ {k}) e_ {k} + sin ( theta _ {k}) e_ {2k}).}

Základní vlastnosti

Pokud je největší úhel nula, je jeden podprostor podmnožinou druhého.
Pokud je největší úhel ${ displaystyle pi / 2}$ , v jednom podprostoru je alespoň jeden vektor kolmý na druhý podprostor.
Pokud je nejmenší úhel nula, protoprostory se protínají alespoň v řadě.
Pokud je nejmenší úhel ${ displaystyle pi / 2}$ , podprostory jsou ortogonální.
Počet úhlů rovných nule je dimenzí prostoru, kde se tyto dva podprostory protínají.

Pokročilé vlastnosti

Netriviální (liší se od ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle pi / 2}$ ^[5]) úhly mezi dvěma podprostory jsou stejné jako netriviální úhly mezi jejich ortogonálními doplňky.^[6]^[7]
Netriviální úhly mezi podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ a odpovídající netriviální úhly mezi podprostory ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {W}} ^ { perp}}$ součet až ${ displaystyle pi / 2}$ .^[6]^[7]
Úhly mezi podprostory splňují nerovnost trojúhelníku ve smyslu majorizace a lze jej tedy použít k definování a vzdálenost na množině všech podprostorů přeměňujících množinu na a metrický prostor.^[8]
The sinus úhly mezi podprostory splňují nerovnost trojúhelníku ve smyslu majorizace a lze jej tedy použít k definování a vzdálenost na množině všech podprostorů přeměňujících množinu na a metrický prostor.^[6] Například sinus největšího úhlu je znám jako a mezera mezi podprostory.^[9]

Rozšíření

Pojem úhly a některé variační vlastnosti lze přirozeně rozšířit na libovolné vnitřní výrobky^[10] a podprostory s nekonečným rozměry.^[7]

Výpočet

Historicky se hlavní úhly a vektory nejprve objevují v kontextu kanonická korelace a byli původně vypočítané použitím SVD odpovídajících kovariance matice. Jak jsme si však poprvé všimli,^[3] the kanonická korelace souvisí s kosinus hlavních úhlů, což je špatně podmíněný pro malé úhly, což vede k velmi nepřesnému výpočtu vysoce korelovaných hlavních vektorů v konečné podobě přesnost počítačová aritmetika. The sinus - založený na algoritmu^[3] opravuje tento problém, ale vytváří nový problém velmi nepřesného výpočtu vysoce nekorelovaných hlavních vektorů, protože sinus funkce je špatně podmíněný pro úhly blízké $π$ /2. Produkovat přesné hlavní vektory v počítačová aritmetika pro celou škálu hlavních úhlů kombinovaná technika^[10] nejprve spočítejte všechny hlavní úhly a vektory pomocí klasiky kosinus přístup založený na metodě a poté přepočítá hlavní úhly menší než $π$ /4 a odpovídající hlavní vektory pomocí sinus - na základě přístupu.^[3] Kombinovaná technika^[10] je implementováno v open-source knihovny Oktáva^[11] a SciPy^[12] a přispěl ^[13] a ^[14] na MATLAB.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Jordan, C. (1875). „Essai sur la géométrie à ${ displaystyle n}$ rozměry". Býk. Soc. Matematika. Francie. 3: 103.
^ Afriat, S. N. (1957). "Ortogonální a šikmé projektory a charakterizace dvojic vektorových prostorů". Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (4): 800. doi:10.1017 / S0305004100032916.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Björck, Å .; Golub, G. H. (1973). "Numerické metody pro výpočet úhlů mezi lineárními podprostory". Matematika. Comp. 27 (123): 579. doi:10.2307/2005662. JSTOR 2005662.
^ Galántai, A .; Hegedũs, Čs. J. (2006). "Jordánské hlavní úhly ve složitých vektorových prostorech". Číslo. Aplikace lineární algebry. 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525. doi:10,1002 / nla.491.
^ Halmos, P.R. (1969), „Dva podprostory“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 144: 381–389, doi:10.1090 / S0002-9947-1969-0251519-5
^ ^A ^b ^C Knyazev, A.V .; Argentati, M.E. (2006), „Majorizace pro změny úhlů mezi podprostory, Ritzovými hodnotami a Graph Laplacian Spectra“, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770, doi:10.1137/060649070
^ ^A ^b ^C Knyazev, A.V .; Jujunashvili, A .; Argentati, M.E. (2010), „Úhly mezi nekonečnými dimenzionálními podprostory s aplikacemi na metody Rayleigh – Ritz a alternativními projektory“, Journal of Functional Analysis, 259 (6): 1323–1345, arXiv:0705.1023, doi:10.1016 / j.jfa.2010.05.018
^ Qiu, L .; Zhang, Y .; Li, C.-K. (2005), „Unitary invariant metrics on the Grassmann space“ (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27 (2): 507–531, doi:10.1137/040607605
^ Kato, D.T. (1996), Teorie poruch pro lineární operátory, Springer, New York
^ ^A ^b ^C Knyazev, A.V .; Argentati, M.E. (2002), „Hlavní úhly mezi podprostory ve skalárním produktu na bázi A: Algoritmy a odhady odchylek“, SIAM Journal on Scientific Computing, 23 (6): 2009–2041, CiteSeerX 10.1.1.73.2914, doi:10.1137 / S1064827500377332
^ Podprostor oktávové funkce
^ Funkce SciPy lineární algebra subspace_angles
^ Podprostor funkce MATLAB FileExchange
^ Funkce MATLAB FileExchange subspacea

[jordan-1] A ^b ^C Jordan, C. (1875). „Essai sur la géométrie à ${ displaystyle n}$ rozměry". Býk. Soc. Matematika. Francie. 3: 103.

[afriat-2] Afriat, S. N. (1957). "Ortogonální a šikmé projektory a charakterizace dvojic vektorových prostorů". Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (4): 800. doi:10.1017 / S0305004100032916.

[bjoerck-3] A ^b ^C ^d ^E Björck, Å .; Golub, G. H. (1973). "Numerické metody pro výpočet úhlů mezi lineárními podprostory". Matematika. Comp. 27 (123): 579. doi:10.2307/2005662. JSTOR 2005662.

[galantai-4] Galántai, A .; Hegedũs, Čs. J. (2006). "Jordánské hlavní úhly ve složitých vektorových prostorech". Číslo. Aplikace lineární algebry. 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525. doi:10,1002 / nla.491.

[Halmos-5] Halmos, P.R. (1969), „Dva podprostory“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 144: 381–389, doi:10.1090 / S0002-9947-1969-0251519-5

[KA06-6] A ^b ^C Knyazev, A.V .; Argentati, M.E. (2006), „Majorizace pro změny úhlů mezi podprostory, Ritzovými hodnotami a Graph Laplacian Spectra“, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770, doi:10.1137/060649070

[KJA-7] A ^b ^C Knyazev, A.V .; Jujunashvili, A .; Argentati, M.E. (2010), „Úhly mezi nekonečnými dimenzionálními podprostory s aplikacemi na metody Rayleigh – Ritz a alternativními projektory“, Journal of Functional Analysis, 259 (6): 1323–1345, arXiv:0705.1023, doi:10.1016 / j.jfa.2010.05.018

[QZL-8] Qiu, L .; Zhang, Y .; Li, C.-K. (2005), „Unitary invariant metrics on the Grassmann space“ (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27 (2): 507–531, doi:10.1137/040607605

[Kato-9] Kato, D.T. (1996), Teorie poruch pro lineární operátory, Springer, New York

[KA02-10] A ^b ^C Knyazev, A.V .; Argentati, M.E. (2002), „Hlavní úhly mezi podprostory ve skalárním produktu na bázi A: Algoritmy a odhady odchylek“, SIAM Journal on Scientific Computing, 23 (6): 2009–2041, CiteSeerX 10.1.1.73.2914, doi:10.1137 / S1064827500377332

[11] Podprostor oktávové funkce

[12] Funkce SciPy lineární algebra subspace_angles

[13] Podprostor funkce MATLAB FileExchange

[14] Funkce MATLAB FileExchange subspacea

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]