Nespočet kompaktního prostoru - Countably compact space

(1) ${displaystyle Rightarrow}$ (2): Předpokládejme, že (1) drží a A je nekonečná podmnožina X bez ${displaystyle omega}$-akumulační bod. Tím, že podskupinu A v případě potřeby to můžeme předpokládat A je spočítatelné ${displaystyle xin X}$ má otevřené sousedství ${displaystyle O_ {x}}$ takhle ${displaystyle O_ {x} čepice A}$ je konečný (možná prázdný), protože X je ne bod akumulace ω. Pro každou konečnou podmnožinu F z A definovat ${displaystyle O_ {F} = šálek {O_ {x}: O_ {x} čepice A = F}}$. Každý ${displaystyle O_ {x}}$ je podmnožinou jednoho z ${displaystyle O_ {F}}$, takže ${displaystyle O_ {F}}$ Pokrýt X. Protože jich je nespočetně mnoho, ${displaystyle O_ {F}}$ tvoří spočítatelný otevřený obal X. Ale každý ${displaystyle O_ {F}}$ protínají A v konečné podmnožině (jmenovitě F), takže konečně mnoho z nich nedokáže pokrýt A, natož X. Tento rozpor dokazuje (2).

(2) ${displaystyle Rightarrow}$ (3): Předpokládejme, že (2) drží a necháme ${displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ být sekvence v X. Pokud má sekvence hodnotu X to se vyskytuje nekonečně mnohokrát, tato hodnota je akumulační bod sekvence. V opačném případě se každá hodnota v sekvenci vyskytuje pouze finitně mnohokrát a set ${displaystyle A = {x_ {n}: nin {mathbb {N}}}}$ je nekonečný a také má ω-akumulační bod X. Že X je pak akumulačním bodem sekvence, jak je snadno zkontrolováno.

(3) ${displaystyle Rightarrow}$ (1): Předpokládejme (3) drží a ${displaystyle {O_ {n}: nin {mathbb {N}}}}$ je spočítatelný otevřený kryt bez konečné dílčí kryty. Pak pro každého ${displaystyle n}$ můžeme si vybrat bod ${displaystyle x_ {n} v X}$ to je ne v ${displaystyle cup _ {i = 1} ^ {n} O_ {i}}$. Sekvence ${displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ má akumulační bod X a to X je v některých ${displaystyle O_ {k}}$. Ale pak ${displaystyle O_ {k}}$ je sousedství města X který neobsahuje nic z ${displaystyle x_ {n}}$ s ${displaystyle n> k}$, tak X nakonec není akumulačním bodem sekvence. Tento rozpor dokazuje (1).

(4) ${displaystyle Leftrightarrow}$ (1): Podmínky (1) a (4) lze snadno považovat za rovnocenné přijetím doplňků.