Rozšířený Kalmanův filtr - Extended Kalman filter

v teorie odhadu, rozšířený Kalmanův filtr (EKF) je nelineární verze Kalmanův filtr který linearizuje přibližně odhad aktuálního průměru a kovariance. V případě dobře definovaných přechodových modelů byla zohledněna EKF^[1] the de facto standard v teorii odhadu nelineárního stavu, navigační systémy a GPS.^[2]

Dějiny

Příspěvky zakládající matematické základy filtrů typu Kalman byly publikovány v letech 1959 až 1961.^[3][4][5] The Kalmanův filtr je optimální lineární odhad pro lineárnímodely systémů s aditivním nezávislým bílým šumem jak v přechodových, tak v měřicích systémech. Bohužel v inženýrství je většina systémů nelineární, takže byly učiněny pokusy použít tuto filtrační metodu na nelineární systémy; Většina této práce byla provedena v NASA Ames.^[6][7] Techniky přizpůsobené EKF z počet, jmenovitě vícerozměrný Taylor série expanze, k linearizaci modelu o pracovním bodu. Pokud model systému (jak je popsán níže) není dobře znám nebo je nepřesný, pak Metody Monte Carlo, zvláště částicové filtry, jsou použity pro odhad. Techniky Monte Carlo předcházejí existenci EKF, ale jsou výpočetně nákladnější pro všechny mírně dimenzované státní prostor.

Formulace

V rozšířeném Kalmanově filtru nemusí být modely přechodu stavu a pozorování lineárními funkcemi stavu, ale mohou být rozlišitelný funkce.

${displaystyle {oldsymbol {x}} _ {k} = f ({oldsymbol {x}} _ {k-1}, {oldsymbol {u}} _ {k}) + {oldsymbol {w}} _ {k} }$

${displaystyle {oldsymbol {z}} _ {k} = h ({oldsymbol {x}} _ {k}) + {oldsymbol {v}} _ {k}}$

Tady w_k a proti_k jsou procesní a pozorovací zvuky, u nichž se předpokládá, že jsou nulové vícerozměrný Gaussian zvuky s kovariance Q_k a R_k resp. u_k je kontrolní vektor.

Funkce F lze použít k výpočtu předpokládaného stavu z předchozího odhadu a podobně funkce h lze použít k výpočtu predikovaného měření z predikovaného stavu. Nicméně, F a h nelze použít na kovarianci přímo. Místo toho matice parciálních derivací ( Jacobian ) je vypočítán.

V každém časovém kroku je Jacobian vyhodnocen s aktuálními předpokládanými stavy. Tyto matice lze použít v Kalmanových filtračních rovnicích. Tento proces v podstatě linearizuje nelineární funkci kolem aktuálního odhadu.

Viz Kalmanův filtr článek pro notační poznámky.

Predikce a aktualizace rovnic v diskrétním čase

Zápis ${displaystyle {hat {mathbf {x}}} _ {nmid m}}$ představuje odhad ${displaystyle mathbf {x}}$ v čase n daná pozorování až do času včetně m ≤ n.

Předpovědět

Předpokládaný odhad stavu	${displaystyle {hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k-1} = f ({hat {oldsymbol {x}}} _ {k-1 | k-1}, {oldsymbol {u}} _ { k})}$
Předpokládaný kovarianční odhad	${displaystyle {oldsymbol {P}} _ {k | k-1} = {{oldsymbol {F}} _ {k}} {oldsymbol {P}} _ {k-1 | k-1} {{oldsymbol {F }} _ {k} ^ {op}} + {oldsymbol {Q}} _ {k}}$

Aktualizace

Inovace nebo zbytkové měření	${displaystyle {ilde {oldsymbol {y}}} _ {k} = {oldsymbol {z}} _ {k} -h ({hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k-1})}$
Inovace (nebo zbytková) kovariance	${displaystyle {oldsymbol {S}} _ {k} = {{oldsymbol {H}} _ {k}} {oldsymbol {P}} _ {k | k-1} {{oldsymbol {H}} _ {k} ^ {op}} + {oldsymbol {R}} _ {k}}$
Téměř optimální Kalmanův zisk	${displaystyle {oldsymbol {K}} _ {k} = {oldsymbol {P}} _ {k | k-1} {{oldsymbol {H}} _ {k} ^ {op}} {oldsymbol {S}} _ {k} ^ {- 1}}$
Aktualizovaný odhad stavu	${displaystyle {hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k} = {hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k-1} + {oldsymbol {K}} _ {k} {ilde {oldsymbol {y}}} _ {k}}$
Aktualizovaný odhad kovariance	${displaystyle {oldsymbol {P}} _ {k | k} = ({oldsymbol {I}} - {oldsymbol {K}} _ {k} {{oldsymbol {H}} _ {k}}) {oldsymbol {P }} _ {k | k-1}}$

kde přechody stavu a pozorovací matice jsou definovány jako následující Jacobians

${displaystyle {{oldsymbol {F}} _ {k}} = vlevo. {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {x}}}} ightvert _ {{hat {oldsymbol {x}}} _ {k-1 | k-1}, {oldsymbol {u}} _ {k}}}$

${displaystyle {{oldsymbol {H}} _ {k}} = vlevo. {frac {částečné h} {částečné {oldsymbol {x}}}} ightvert _ {{hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k -1}}}$

Nevýhody

Na rozdíl od svého lineárního protějšku obecně rozšířený Kalmanův filtr je ne optimální odhad (je optimální, pokud je měření i model přechodu stavu lineární, protože v takovém případě je rozšířený Kalmanův filtr identický s běžným). Kromě toho, pokud je počáteční odhad stavu nesprávný nebo pokud je proces nesprávně modelován, může se filtr kvůli jeho linearizaci rychle rozcházet. Dalším problémem rozšířeného Kalmanova filtru je, že odhadovaná kovarianční matice má tendenci podceňovat skutečnou kovarianční matici, a proto hrozí nekonzistentní ve statistickém smyslu bez přidání „stabilizačního šumu“^[8].

Poté, co jsme to uvedli, může rozšířený Kalmanův filtr poskytnout přiměřený výkon a je to pravděpodobně de facto standard v navigačních systémech a GPS.

Zobecnění

Kontinuálně rozšířený Kalmanův filtr

Modelka

${displaystyle {egin {aligned} {dot {mathbf {x}}} (t) & = f {igl (} mathbf {x} (t), mathbf {u} (t) {igr)} + ​​mathbf {w} (t) & mathbf {w} (t) & sim {mathcal {N}} {igl (} mathbf {0}, mathbf {Q} (t) {igr)} mathbf {z} (t) & = h {igl (} mathbf {x} (t) {igr)} + ​​mathbf {v} (t) & mathbf {v} (t) & sim {mathcal {N}} {igl (} mathbf {0}, mathbf {R} (t ) {igr)} konec {zarovnáno}}}$

Inicializovat

${displaystyle {hat {mathbf {x}}} (t_ {0}) = E {igl [} mathbf {x} (t_ {0}) {igr]} {ext {,}} mathbf {P} (t_ { 0}) = Var {igl [} mathbf {x} (t_ {0}) {igr]}}$

Predict-Update

${displaystyle {egin {aligned} {dot {hat {mathbf {x}}}} (t) & = f {igl (} {hat {mathbf {x}}} (t), mathbf {u} (t) { igr)} + ​​mathbf {K} (t) {Bigl (} mathbf {z} (t) -h {igl (} {hat {mathbf {x}}} (t) {igr)} {Bigr)} { tečka {mathbf {P}}} (t) & = mathbf {F} (t) mathbf {P} (t) + mathbf {P} (t) mathbf {F} (t) ^ {op} -mathbf {K } (t) mathbf {H} (t) mathbf {P} (t) + mathbf {Q} (t) mathbf {K} (t) & = mathbf {P} (t) mathbf {H} (t) ^ {op} mathbf {R} (t) ^ {- 1} mathbf {F} (t) & = vlevo. {frac {částečné f} {částečné mathbf {x}}} ightvert _ {{hat {mathbf { x}}} (t), mathbf {u} (t)} mathbf {H} (t) & = vlevo. {frac {částečné h} {částečné mathbf {x}}} ightvert _ {{hat {mathbf { x}}} (t)} konec {zarovnáno}}}$

Na rozdíl od Kalmanova filtru s diskrétním časem jsou kroky predikce a aktualizace spojeny v Kalmanově filtru s kontinuálním časem.^[9]

Měření v diskrétním čase

Většina fyzických systémů je reprezentována jako modely s nepřetržitým časem, zatímco měření v diskrétním čase jsou často prováděna pro odhad stavu pomocí digitálního procesoru. Proto je model systému a model měření dán vztahem

${displaystyle {egin {aligned} {dot {mathbf {x}}} (t) & = f {igl (} mathbf {x} (t), mathbf {u} (t) {igr)} + ​​mathbf {w} (t) & mathbf {w} (t) & sim {mathcal {N}} {igl (} mathbf {0}, mathbf {Q} (t) {igr)} mathbf {z} _ {k} & = h ( mathbf {x} _ {k}) + mathbf {v} _ {k} & mathbf {v} _ {k} a sim {mathcal {N}} (mathbf {0}, mathbf {R} _ {k}) konec { zarovnaný}}}$

kde ${displaystyle mathbf {x} _ {k} = mathbf {x} (t_ {k})}$.

Inicializovat

${displaystyle {hat {mathbf {x}}} _ {0 | 0} = E {igl [} mathbf {x} (t_ {0}) {igr]}, mathbf {P} _ {0 | 0} = E {igl [} left (mathbf {x} (t_ {0}) - {hat {mathbf {x}}} (t_ {0}) ight) left (mathbf {x} (t_ {0}) - {hat { mathbf {x}}} (t_ {0}) ight) ^ {T} {igr]}}$

Předpovědět

${displaystyle {egin {aligned} {ext {řešit}} & {egin {cases} {dot {hat {mathbf {x}}}} (t) = f {igl (} {hat {mathbf {x}}} ( t), mathbf {u} (t) {igr)} {dot {mathbf {P}}} (t) = mathbf {F} (t) mathbf {P} (t) + mathbf {P} (t) mathbf {F} (t) ^ {op} + mathbf {Q} (t) end {cases}} qquad {ext {with}} {egin {cases} {hat {mathbf {x}}} (t_ {k- 1}) = {hat {mathbf {x}}} _ {k-1 | k-1} mathbf {P} (t_ {k-1}) = mathbf {P} _ {k-1 | k-1 } end {cases}} Rightarrow & {egin {cases} {hat {mathbf {x}}} _ {k | k-1} = {hat {mathbf {x}}} (t_ {k}) mathbf { P} _ {k | k-1} = mathbf {P} (t_ {k}) konec {případů}} konec {zarovnáno}}}$

kde

${displaystyle mathbf {F} (t) = left. {frac {partial f} {partial mathbf {x}}} ightvert _ {{hat {mathbf {x}}} (t), mathbf {u} (t)} }$

Aktualizace

${displaystyle mathbf {K} _ {k} = mathbf {P} _ {k | k-1} mathbf {H} _ {k} ^ {op} {igl (} mathbf {H} _ {k} mathbf {P } _ {k | k-1} mathbf {H} _ {k} ^ {op} + mathbf {R} _ {k} {igr)} ^ {- 1}}$

${displaystyle {hat {mathbf {x}}} _ {k | k} = {hat {mathbf {x}}} _ {k | k-1} + mathbf {K} _ {k} {igl (} mathbf { z} _ {k} -h ({hat {mathbf {x}}} _ {k | k-1}) {igr)}}$

${displaystyle mathbf {P} _ {k | k} = (mathbf {I} -mathbf {K} _ {k} mathbf {H} _ {k}) mathbf {P} _ {k | k-1}}$

kde

${displaystyle {extbf {H}} _ {k} = vlevo. {frac {částečné h} {částečné {extbf {x}}}} ightvert _ {{hat {extbf {x}}} _ {k | k-1 }}}$

Aktualizační rovnice jsou identické s rovnicemi diskrétního rozšířeného Kalmanova filtru.

Rozšířené Kalmanovy filtry vyššího řádu

Výše uvedená rekurze je rozšířený Kalmanův filtr (EKF) prvního řádu. EKF vyššího řádu lze získat zachováním více podmínek expanzí Taylorovy řady. Například byly popsány EKF druhého a třetího řádu.^[10] EKF vyššího řádu však mají tendenci poskytovat výhody výkonu pouze v případě, že je šum měření malý.

Neaditivní aditivace hluku a rovnice

Typická formulace EKF zahrnuje předpoklad aditivního procesu a hluku měření. Tento předpoklad však není nutný pro EKF implementace.^[11] Místo toho zvažte obecnější systém formuláře:

${displaystyle {oldsymbol {x}} _ {k} = f ({oldsymbol {x}} _ {k-1}, {oldsymbol {u}} _ {k-1}, {oldsymbol {w}} _ {k -1})}$

${displaystyle {oldsymbol {z}} _ {k} = h ({oldsymbol {x}} _ {k}, {oldsymbol {v}} _ {k})}$

Tady w_k a proti_k jsou zvuky procesu a pozorování, u nichž se předpokládá, že jsou nulové vícerozměrný Gaussian zvuky s kovariance Q_k a R_k resp. Pak kovariance stanou se rovnice predikce a inovace

${displaystyle {oldsymbol {P}} _ {k | k-1} = {{oldsymbol {F}} _ {k-1}} {{oldsymbol {P}} _ {k-1 | k-1}} { {oldsymbol {F}} _ {k-1} ^ {op}} {+} {{oldsymbol {L}} _ {k-1}} {{oldsymbol {Q}} _ {k-1}} {{ oldsymbol {L}} _ {k-1} ^ {T}}}$

${displaystyle {oldsymbol {S}} _ {k} = {{oldsymbol {H}} _ {k}} {{oldsymbol {P}} _ {k | k-1}} {{oldsymbol {H}} _ { k} ^ {op}} {+} {{oldsymbol {M}} _ {k}} {{oldsymbol {R}} _ {k}} {{oldsymbol {M}} _ {k} ^ {T}} }$

kde matice ${displaystyle {oldsymbol {L}} _ {k-1}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {M}} _ {k}}$ jsou Jacobian matice:

${displaystyle {{oldsymbol {L}} _ {k-1}} = vlevo. {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {w}}}} ightvert _ {{klobouk {oldsymbol {x}}} _ {k -1 | k-1}, {oldsymbol {u}} _ {k-1}}}$

${displaystyle {{oldsymbol {M}} _ {k}} = vlevo. {frac {částečné h} {částečné {oldsymbol {v}}}} ightvert _ {{klobouk {oldsymbol {x}}} _ {k | k -1}}}$

Odhad predikovaného stavu a reziduální měření se hodnotí průměrem podmínek procesu a šumu měření, které se považují za nulové. Jinak je formulace neaditivního šumu implementována stejným způsobem jako aditivní šum EKF.

Implicitní rozšířený Kalmanův filtr

V určitých případech nelze pozorovací model nelineárního systému vyřešit ${displaystyle {oldsymbol {z}} _ {k}}$, ale lze jej vyjádřit pomocí implicitní funkce:

${displaystyle h ({oldsymbol {x}} _ {k}, {oldsymbol {z '}} _ {k}) = {oldsymbol {0}}}$

kde ${displaystyle {oldsymbol {z}} _ {k} = {oldsymbol {z '}} _ {k} + {oldsymbol {v}} _ {k}}$ jsou hlučná pozorování.

Konvenční rozšířený Kalmanův filtr lze použít s následujícími substitucemi:^[12][13]

${displaystyle {{oldsymbol {R}} _ {k}} leftarrow {{oldsymbol {J}} _ {k}} {{oldsymbol {R}} _ {k}} {{oldsymbol {J}} _ {k} ^ {T}}}$

${displaystyle {ilde {oldsymbol {y}}} _ {k} leftarrow -h ({hat {oldsymbol {x}}} _ {k | k-1}, {oldsymbol {z}} _ {k})}$

kde:

${displaystyle {{oldsymbol {J}} _ {k}} = vlevo. {frac {částečné h} {částečné {oldsymbol {z}}}} ightvert _ {{klobouk {oldsymbol {x}}} _ {k | k -1}, {hat {oldsymbol {z}}} _ {k}}}$

Zde původní kovarianční matice pozorování ${displaystyle {{oldsymbol {R}} _ {k}}}$ se transformuje a inovace ${displaystyle {ilde {oldsymbol {y}}} _ {k}}$ je definována odlišně. Jacobská matice ${displaystyle {{oldsymbol {H}} _ {k}}}$ je definována jako dříve, ale je určena z implicitního modelu pozorování ${displaystyle h ({oldsymbol {x}} _ {k}, {oldsymbol {z}} _ {k})}$.

Modifikace

Iterovaný rozšířený Kalmanův filtr

Iterovaný rozšířený Kalmanov filtr zlepšuje linearizaci rozšířeného Kalmanova filtru rekurzivní úpravou středového bodu Taylorovy expanze. To snižuje chybu linearizace za cenu zvýšených výpočetních požadavků.^[13]

Robustní rozšířený Kalmanův filtr

Rozšířený Kalmanův filtr vzniká linearizací signálního modelu o odhadu aktuálního stavu a použitím lineárního Kalmanův filtr předpovědět další odhad. To se pokouší vytvořit lokálně optimální filtr, ale není to nutně stabilní, protože řešení podkladového Riccatiho rovnice nejsou zaručeně pozitivní. Jedním ze způsobů zlepšení výkonu je faux algebraická technika Riccati ^[14] který obchoduje s optimalitou pro stabilitu. Známá struktura rozšířeného Kalmanova filtru je zachována, ale stability je dosaženo výběrem pozitivního konečného řešení faux algebraické Riccatiho rovnice pro návrh zesílení.

Dalším způsobem, jak zlepšit výkon rozšířeného Kalmanova filtru, je použít výsledky H-nekonečna z robustního řízení. Robustní filtry se získají přidáním pozitivního určitého termínu do návrhové Riccatiho rovnice.^[15] Dodatečný termín je parametrizován skalárem, který může návrhář vyladit, aby dosáhl kompromisu mezi středními chybami a výkonovými kritérii špičkové chyby.

Invariantní rozšířený Kalmanův filtr

Invariantní rozšířený Kalmanův filtr (IEKF) je upravenou verzí EKF pro nelineární systémy mající symetrie (nebo invariances). Kombinuje výhody jak EKF, tak nedávno představeného symetrické filtry. Místo použití lineárního korekčního členu založeného na lineární výstupní chybě používá IEKF geometricky upravený korekční člen založený na invariantní výstupní chybě; stejným způsobem se matice zisku neaktualizuje z chyby lineárního stavu, ale z chyby invariantního stavu. Hlavní výhodou je, že rovnice zisku a kovariance konvergují na konstantní hodnoty na mnohem větší sadě trajektorií než rovnovážné body, jako je tomu v případě EKF, což vede k lepší konvergenci odhadu.

Nepancéřované Kalmanovy filtry

Nelineární Kalmanův filtr, který slibuje zlepšení oproti EKF, je neparfémovaný Kalmanov filtr (UKF). Ve UKF je hustota pravděpodobnosti aproximována deterministickým vzorkováním bodů, které představují základní rozdělení jako a Gaussian. Nelineární transformace těchto bodů má být odhadem zadního rozdělení, momenty z nichž pak lze odvodit z transformovaných vzorků. Transformace je známá jako neparfémovaná transformace. UKF má tendenci být robustnější a přesnější než EKF při odhadu chyby ve všech směrech.

„Rozšířený Kalmanův filtr (EKF) je pravděpodobně nejpoužívanějším algoritmem odhadu pro nelineární systémy. Více než 35 let zkušeností v komunitě odhadů však ukázalo, že je obtížné jej implementovat, obtížně vyladit a spolehlivý pouze pro systémy, které jsou téměř lineární na časové škále aktualizací. Mnoho z těchto obtíží vyplývá z použití linearizace. “^[1]

Dokument z roku 2012 obsahuje výsledky simulace, které naznačují, že některé publikované varianty UKF nejsou tak přesné jako rozšířený Kalmanov filtr druhého řádu (SOEKF), známý také jako rozšířený Kalmanov filtr.^[16] SOEKF předchází UKF přibližně o 35 let, přičemž momentovou dynamiku poprvé popsal Bass et al.^[17] Obtíž při implementaci jakýchkoli filtrů typu Kalman pro nelineární přechody stavu pramení z problémů numerické stability vyžadovaných pro přesnost,^[18] UKF však neunikne této obtížnosti v tom, že používá také linearizaci, zejména lineární regresi. Problémy stability pro UKF obecně pramení z numerické aproximace druhé odmocniny kovarianční matice, zatímco problémy stability jak pro EKF, tak pro SOEKF pocházejí z možných problémů v Taylor Series aproximace podél trajektorie.

Ensemble Kalmanův filtr

UKF ve skutečnosti předcházel Ensemble Kalman Filter, který vynalezl Evensen v roce 1994 Filtr Ensemble Kalman. Výhodou oproti UKF je, že počet použitých členů souboru může být mnohem menší než státní dimenze, což umožňuje aplikacím velmi vysoce dimenzionální systémy, jako je předpověď počasí, s velikostí stavového prostoru miliardy nebo více.

Viz také

• Kalmanův filtr
• Filtr Ensemble Kalman
• Rychlý Kalmanov filtr
• Invariantní rozšířený Kalmanův filtr
• Odhad pohyblivého horizontu
• Filtr částic
• Neparfemovaný Kalmanov filtr

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Odhad polohy robota diferenciálního kola na základě odometrie a orientačních bodů