Filtr zachovávající symetrii - Symmetry-preserving filter

Pozorovatelé zachovávající symetrii,^[1]^[2] také známý jako invariantní filtry, jsou techniky odhadu, jejichž struktura a design využívají přirozených symetrií (nebo invariancí) uvažovaného nelineárního modelu. Hlavní výhodou je tedy očekávaná mnohem větší doména konvergence než standardní metody filtrování, např. Rozšířený Kalmanův filtr (EKF) nebo Neparfemovaný Kalmanův filtr (UKF).

Motivace

Většina fyzických systémů má přirozenou symetrii (nebo invariantnost), tj. Existuje transformace (např. rotace, překlady, změna měřítka), které systém ponechají beze změny. Z matematického a technického hlediska má smysl, že filtr dobře navržený pro uvažovaný systém by měl zachovat stejné vlastnosti invariance.

Definice

Zvážit ${ displaystyle G}$ Lieova skupina a (místní) transformační skupiny ${ displaystyle varphi _ {g}, psi _ {g}, rho _ {g}}$ , kde ${ displaystyle g v G}$ .

Nelineární systém

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { dot {x}} & = f (x, u) y & = h (x, u) end {zarovnáno}}}

se říká, že je neměnný pokud je ponechán nezměněn působením ${ displaystyle varphi _ {g}, psi _ {g}, rho _ {g}}$ , tj.

{ displaystyle { begin {aligned} { dot {X}} & = f (X, U) Y & = h (X, U), end {aligned}}}

kde ${ displaystyle (X, U, Y) = ( varphi _ {g} (x), psi _ {g} (u), rho _ {g} (y))}$ .

Systém ${ displaystyle { dot { hat {x}}} = F ({ hat {x}}, u, y)}$ je pak invariantní filtr -li

${ displaystyle F (x, u, h (x, u)) = f (x, u)}$ tj. že to může být duchaplné ${ displaystyle { dot { hat {x}}} = f ({ hat {x}}, u) + C}$ , kde je opravný termín ${ displaystyle C}$ je rovný ${ displaystyle 0}$ když ${ displaystyle { hat {y}} = y}$
${ displaystyle { dot { hat {X}}} = F ({ hat {X}}, U, Y)}$ , tj. je ponechán beze změny transformační skupina.

Obecná rovnice a hlavní výsledek

Bylo prokázáno ^[1] že každý invariantní pozorovatel čte

{ displaystyle { dot { hat {x}}} = f ({ hat {x}}, u) + W ({ hat {x}}) L { Bigl (} I ({ hat { x}}, u), E ({ hat {x}}, u, y) { Bigr)} E ({ hat {x}}, u, y),}

kde

${ displaystyle E ({ hat {x}}, u, y)}$ je invariantní chyba výstupu, který se liší od obvyklé chyby výstupu ${ displaystyle { hat {y}} - y}$
${ displaystyle W ({ hat {x}}) = { bigl (} w_ {1} ({ hat {x}}), .., w_ {n} ({ hat {x}}) { bigr)}}$ je neměnný rámec
${ displaystyle I ({ hat {x}}, u)}$ je neměnný vektor
${ displaystyle L (I, E)}$ je volně zvolená matice zisku.

Vzhledem k uvažovanému systému a přidružené transformační skupině existuje konstruktivní metoda k určení ${ displaystyle E ({ hat {x}}, u, y), W ({ hat {x}}), I ({ hat {x}}, u)}$ , založené na metodě pohyblivého rámu.

Chcete-li analyzovat konvergenci chyb, chybu invariantního stavu ${ displaystyle eta ({ hat {x}}, x)}$ je definována, což se liší od standardní chyby výstupu ${ displaystyle { hat {x}} - x}$ , protože standardní chyba výstupu obvykle nezachovává symetrie systému. Jednou z hlavních výhod filtrů zachovávajících symetrii je, že chybový systém je „autonomní", ale pro volný známý invariantní vektor ${ displaystyle I ({ hat {x}}, u)}$ , tj. ${ displaystyle { dot { eta}} = Upsilon { bigl (} eta, I ({ hat {x}}, u) { bigr)}}$ . Tato důležitá vlastnost umožňuje odhadovateli mít velmi velkou doménu konvergence a snadno se naladit.^[3]^[4]

Výběr matice zisku ${ displaystyle L (I, E)}$ , existují dvě možnosti:

A deterministický přístup, což vede ke konstrukci skutečně nelineárních filtrů zachovávajících symetrii (podobně jako u pozorovatelů podobných Luenbergerovi)
A stochastický přístup, což vede k Invariantní rozšířené Kalmanovy filtry (podobně jako Kalmanovi podobní pozorovatelé).

Aplikace

Existuje mnoho aplikací, které používají takové invariantní pozorovatele k odhadu stavu uvažovaného systému. Mezi oblasti použití patří

referenční systémy postoje a kurzu s ^[3] nebo bez ^[4] snímač polohy / rychlosti (např. GPS)
lokalizační systémy pozemních vozidel
chemické reaktory^[1]
oceánografie

Reference

^ ^A ^b ^C S. Bonnabel, Ph. Martin a P. Rouchon, „Pozorovatelé zachovávající symetrii“,Automatické a kontrolní transakce IEEE, sv. 53, č. 11, s. 2514–2526, 2008.
^ S. Bonnabel, Ph. Martin a E. Salaün, „Invariant Extended Kalman Filter: theory and application to a velocity-aided approach estimation problem“, 48. IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1297-1304, 2009.
^ ^A ^b Ph. Martin a E. Salaün, „Invariantní pozorovatel referenčních systémů zaměřených na přístup k rychlosti Země“, 17. světový kongres IFAC, str. 9857-9864, 2008.
^ ^A ^b Ph. Martin a E. Salaün, „Návrh a implementace nízkonákladového pozorovatelského referenčního systému postojů a nadpisů“, Praxe řídicí techniky, 2010.

[Bonnabel_tac-1] A ^b ^C S. Bonnabel, Ph. Martin a P. Rouchon, „Pozorovatelé zachovávající symetrii“,Automatické a kontrolní transakce IEEE, sv. 53, č. 11, s. 2514–2526, 2008.

[Bonnabel_cdc09-2] S. Bonnabel, Ph. Martin a E. Salaün, „Invariant Extended Kalman Filter: theory and application to a velocity-aided approach estimation problem“, 48. IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1297-1304, 2009.

[Martin_ifac-3] A ^b Ph. Martin a E. Salaün, „Invariantní pozorovatel referenčních systémů zaměřených na přístup k rychlosti Země“, 17. světový kongres IFAC, str. 9857-9864, 2008.

[Martin_cep-4] A ^b Ph. Martin a E. Salaün, „Návrh a implementace nízkonákladového pozorovatelského referenčního systému postojů a nadpisů“, Praxe řídicí techniky, 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]