Věta Eilenberg – Ganea - Eilenberg–Ganea theorem
v matematika, zejména v homologická algebra a algebraická topologie, Věta Eilenberg – Ganea stavy pro každou definitivně generovanou skupinu G za určitých podmínek cohomologická dimenze (a to ), lze sestavit asférický CW komplex X dimenze n jehož základní skupina jeG. Věta je pojmenována po polském matematikovi Samuel Eilenberg a rumunský matematik Tudor Ganea. Věta byla poprvé publikována v krátkém článku v roce 1957 v Annals of Mathematics.[1]
Definice
Skupinová kohomologie: Nechat být skupina a nechat být odpovídající Eilenberg - MacLaneův prostor. Pak máme následující singulární řetězový komplex což je bezplatné rozlišení z přes skupinové vyzvánění (kde je triviální -modul):
kde je univerzální kryt a je bezplatná abelianská skupina generované jednotným číslem -řetězce na . The skupinová kohomologie skupiny s koeficientem v a -modul je cohomologie tohoto řetězový komplex s koeficienty v , a je označen .
Kohomologická dimenze: Skupina má cohomologický rozměr s koeficienty v (označeno ) pokud
Skutečnost: Li má projektivní rozlišení maximálně délky , tj., jako triviální modul má maximální projektivní rozlišení délky kdyby a jen kdyby pro všechny - moduly a pro všechny .[Citace je zapotřebí ]
Proto máme alternativní definici kohomologické dimenze takto,
Koohomologická dimenze G s koeficientem v Z je nejmenší n (možná nekonečno) takové, že G má projektivní rozlišení délky n, tj., Z má projektivní rozlišení délky n jako triviální Z[G] modul.
Eilenbergova - Ganeaova věta
Nechat být konečně představenou skupinou a být celé číslo. Předpokládejme cohomologická dimenze z s koeficienty v je nanejvýš , tj., . Pak existuje -dimenzionální asférický CW komplex takové, že základní skupina z je , tj., .
Konverzovat
Konverze této věty je důsledkem buněčná homologie a skutečnost, že každý bezplatný modul je projektivní.
Teorém: Nechat X být asférický n-dimenzionální CW komplex s π1(X) = G, pak cdZ(G) ≤ n.
Související výsledky a domněnky
Pro n = 1 výsledek je jedním z důsledků Věta o zastavení o koncích skupin.[2]
Teorém: Každá konečně vygenerovaná skupina kohomologické dimenze je zdarma.
Pro prohlášení je známé jako Domněnka Eilenberg – Ganea.
Dohoda Eilenberg - Ganea: Pokud skupina G má cohomologickou dimenzi 2, pak existuje 2-dimenzionální asférický CW komplex X s .
Je známo, že dané skupině G s CDZ(G) = 2 existuje trojrozměrný asférický CW komplex X s π1(X) = G.
Viz také
- Domněnka Eilenberg – Ganea
- Skupinová kohomologie
- Kohomologická dimenze
- Věta o zastavení o koncích skupin
Reference
- ^ **Eilenberg, Samuel; Ganea, Tudor (1957). „V kategorii abstraktních skupin Lusternik – Schnirelmann.“ Annals of Mathematics. 2. ser. 65 (3): 517–518. doi:10.2307/1970062. PAN 0085510.
- ^ * John R. Stallings, „Na torzních skupinách s nekonečně mnoha konci“, Annals of Mathematics 88 (1968), 312–334. PAN0228573
- Bestvina, Mladene; Brady, Noel (1997). "Morseova teorie a konečnost vlastností skupin". Inventiones Mathematicae. 129 (3): 445–470. doi:10,1007 / s002220050168. PAN 1465330..
- Kenneth S. Brown, Kohomologie skupinOpravený dotisk originálu z roku 1982, Postgraduální texty z matematiky, 87, Springer-Verlag, New York, 1994. PAN1324339. ISBN 0-387-90688-6