Batemanovy polynomy - Bateman polynomials
V matematice je Batemanovy polynomy jsou rodina Fn z ortogonální polynomy představil Bateman (1933 ). The Bateman – Pasternackovy polynomy jsou zobecněním zavedeným Pasternack (1939).
Batemanovy polynomy lze definovat vztahem
kde Pn je Legendární polynom. Ve smyslu generalizované hypergeometrické funkce, jsou dány
Pasternack (1939) zobecnil Batemanovy polynomy na polynomy Fm
n s
Tyto zobecněné polynomy mají také zastoupení, pokud jde o zobecněné hypergeometrické funkce, jmenovitě
Carlitz (1957) ukázal, že polynomy Qn studoval Touchard (1956) viz Dotykové polynomy, jsou stejné jako Batemanovy polynomy až po změnu proměnné: přesněji
Batemanovy a Pasternackovy polynomy jsou speciální případy symetrických spojité Hahnovy polynomy.
Příklady
Polynomy malých n číst
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Vlastnosti
Ortogonalita
Batemanovy polynomy uspokojují vztah ortogonality[1][2]
Faktor se vyskytuje na pravé straně této rovnice, protože Batemanovy polynomy, jak jsou zde definovány, musí být zmenšeny faktorem aby zůstaly skutečnou hodnotou pro imaginární argumenty. Vztah ortogonality je jednodušší, když je vyjádřen pomocí modifikované množiny polynomů definovaných pomocí , pro které se stává
Vztah opakování
Sekvence Batemanových polynomů splňuje relaci opakování[3]
Generující funkce
Batemanovy polynomy mají také generující funkci
který se někdy používá k jejich definování.[4]
Reference
- ^ Koelink (1996)
- ^ Bateman, H. (1934), „Polynom ", Ann. Matematika. 35 (4): 767-775.
- ^ Bateman (1933), str. 28.
- ^ Bateman (1933), str. 23.
- Al-Salam, Nadhla A. (1967). Msgstr "Třída hypergeometrických polynomů". Ann. Rohož. Pura Appl. 75 (1): 95–120. doi:10.1007 / BF02416800.
- Bateman, H. (1933), „Některé vlastnosti určité sady polynomů.“, Matematický deník Tôhoku, 37: 23–38, JFM 59.0364.02
- Carlitz, Leonard (1957), „Některé polynomy Touchardu spojené s Bernoulliho čísly“, Kanadský žurnál matematiky, 9: 188–190, doi:10.4153 / CJM-1957-021-9, ISSN 0008-414X, PAN 0085361
- Koelink, H. T. (1996), „O Jacobi a spojitých Hahnových polynomech“, Proceedings of the American Mathematical Society, 124 (3): 887–898, doi:10.1090 / S0002-9939-96-03190-5, ISSN 0002-9939, PAN 1307541
- Pasternack, Simon (1939), „Zobecnění polynomu Fn(X)", London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 28 (187): 209–226, doi:10.1080/14786443908521175, PAN 0000698
- Touchard, Jacques (1956), „Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli“, Kanadský žurnál matematiky, 8: 305–320, doi:10.4153 / cjm-1956-034-1, ISSN 0008-414X, PAN 0079021