Rovnice Ramanujan-Nagell - Ramanujan–Nagell equation

v matematika, v oblasti teorie čísel, Rovnice Ramanujan-Nagell je rovnice mezi a číslo umocněné na druhou a číslo, které je o sedm menší než a síla dvou. Je to příklad exponenciální diofantická rovnice, rovnice, která se má vyřešit v celých číslech, kde jedna z proměnných vypadá jako exponent. Je pojmenován po Srinivasa Ramanujan, kteří se domnívali, že má pouze pět celočíselných řešení, a po něm Trygve Nagell, který dokázal domněnku.

Rovnice a řešení

Rovnice je

${ displaystyle 2 ^ {n} -7 = x ^ {2} ,}$

a řešení v přirozeném počtu n a X existují právě tehdy n = 3, 4, 5, 7 a 15 (sekvence A060728 v OEIS ).

To předpokládal indický matematik v roce 1913 Srinivasa Ramanujan, navržený samostatně v roce 1943 norským matematikem Wilhelm Ljunggren, a dokázal v roce 1948 norský matematik Trygve Nagell. Hodnoty n odpovídají hodnotám X tak jako:-

X = 1, 3, 5, 11 a 181^[1] (sekvence A038198 v OEIS ).

Trojúhelníkový Mersenne čísla

Problém najít všechna čísla formuláře 2^b − 1 (Mersennova čísla ) což jsou trojúhelníkový je ekvivalentní:

${ displaystyle { begin {aligned} & 2 ^ {b} -1 = { frac {y (y + 1)} {2}} [2pt] Longleftrightarrow & 8 (2 ^ {b} -1) = 4 roky (y + 1) Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -8 = 4y ^ {2} + 4y Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -7 = 4y ^ {2} + 4y + 1 Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -7 = (2y + 1) ^ {2} end {zarovnáno}}}$

Hodnoty b jsou jen ti z n - 3 a odpovídající trojúhelníková Mersennova čísla (známá také jako Čísla Ramanujan – Nagell) jsou:

${ displaystyle { frac {y (y + 1)} {2}} = { frac {(x-1) (x + 1)} {8}}}$

pro X = 1, 3, 5, 11 a 181, přičemž 0, 1, 3, 15, 4095 a ne více (sekvence A076046 v OEIS ).

Rovnice typu Ramanujan – Nagell

Rovnice tvaru

${ displaystyle x ^ {2} + D = AB ^ {n}}$

pro pevné D, A , B a variabilní X, n se říká, že je z Typ Ramanujan – Nagell. Výsledek Siegel znamená, že počet řešení je v každém případě konečný.^[2] Rovnice s A=1, B= 2 má maximálně dvě řešení s výjimkou případu D= 7 již uvedeno. Existuje nekonečně mnoho hodnot D pro které existují dvě řešení, včetně ${ displaystyle D = 2 ^ {m} -1}$.^[3]

Rovnice typu Lebesgue – Nagell

Rovnice tvaru

${ displaystyle x ^ {2} + D = Ay ^ {n}}$

pro pevné D, A a variabilní X, y, n se říká, že je z Typ Lebesgue – Nagell. Toto je pojmenováno po Victor-Amédée Lebesgue, který dokázal, že rovnice

${ displaystyle x ^ {2} + 1 = y ^ {n}}$

nemá žádná netriviální řešení.^[4]

Výsledky Shorey a Tijdeman naznačují, že počet řešení je v každém případě konečný.^[5] Bugeaud, Mignotte a Siksek řešili rovnice tohoto typu s A = 1 a 1 ≤ D ≤ 100.^[6] Zejména rozšířená rovnice původní rovnice Ramanujan-Nagell

${ displaystyle y ^ {n} -7 = x ^ {2} ,}$

má jediné kladné celočíselné řešení, když X = 1, 3, 5, 11 a 181.

Viz také

• Pillaiho domněnka
• Vědecké rovnice pojmenované po lidech

Reference

• Lebesgue (1850). „Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation X^m = y² + 1". Nouv. Ann. Matematika. Sér. 1. 9: 178–181.
• S. Ramanujan (1913). „Otázka 464“. J. Indian Math. Soc. 5: 130.
• W. Ljunggren (1943). "Oppgave č. 2". Norsk Mat. Tidsskr. 25: 29.
• T. Nagell (1948). "Løsning till oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr. 30: 62–64.
• T. Nagell (1961). „Diophantinova rovnice X² + 7 = 2ⁿ". Ark. Mat. 30 (2–3): 185–187. Bibcode:1961ArM ..... 4..185N. doi:10.1007 / BF02592006.
• Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). „Klasické a modulární přístupy k exponenciálním diofantickým rovnicím II. Lebesgue-Nagellova rovnice“. Compos. Matematika. 142: 31–62. arXiv:matematika / 0405220. doi:10.1112 / S0010437X05001739.
• Shorey, T.N .; Tijdeman, R. (1986). Exponenciální diofantické rovnice. Cambridge Tracts v matematice. 87. Cambridge University Press. str. 137–138. ISBN  0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.
• Saradha, N .; Srinivasan, Anitha (2008). „Zobecněné rovnice Lebesgue – Ramanujan – Nagell”. V Saradha, N. (ed.). Diophantine rovnice. Narosa. 207–223. ISBN  978-81-7319-898-4.

externí odkazy

• „Hodnoty X odpovídající N v rovnici Ramanujan – Nagell“. Wolfram MathWorld. Citováno 2012-05-08.
• Umět N² + N + 2 Být mocnou dvojkou? Diskuse o matematickém fóru