Narozená tuhost - Born rigidity - Wikipedia

Narozená tuhost je koncept v speciální relativita. Je to jedna odpověď na otázku, co ve speciální relativitě odpovídá tuhé tělo nerelativistické klasická mechanika.

Koncept představil Max Born (1909),^[1][2] který podrobně popsal případ konstanty správné zrychlení kterou zavolal hyperbolický pohyb. Když následní autoři jako např Paul Ehrenfest (1909)^[3] pokusil se začlenit také rotační pohyby, vyšlo najevo, že Born rigidity je velmi omezující smysl pro rigiditu, vedoucí k Věta Herglotz – Noether, podle nichž existují přísná omezení rotačních tuhých pohybů Born. Byl formulován Gustav Herglotz (1909, který klasifikoval všechny formy rotačních pohybů)^[4] a méně obecně tím Fritz Noether (1909).^[5] Jako výsledek, Born (1910)^[6] a další uvedli alternativní, méně omezující definice tuhosti.

Definice

Narozená tuhost je splněna, pokud ortogonální vesmírný čas vzdálenost mezi nekonečně oddělenými křivkami nebo světových linií je konstantní,^[7] nebo ekvivalentně, pokud je délka tuhého tělesa při okamžitém společném pohybu setrvačné rámy měřeno standardními měřicími tyčemi (tj správná délka ) je konstantní, a proto je vystaven Lorentzova kontrakce v relativně pohyblivých rámcích.^[8] Narozená tuhost je omezení pohybu prodlouženého těla, kterého je dosaženo pečlivým působením sil na různé části těla. Tělo tuhé samo o sobě by porušilo speciální relativitu rychlost zvuku by bylo nekonečné.

Klasifikaci všech možných Bornových tuhých pohybů lze získat pomocí věty Herglotz – Noether. Tato věta říká, že všechno irrotační Narozené tuhé pohyby (třída A ) skládá se z hyperplanes tuhý pohyb v časoprostoru, zatímco jakýkoli rotační Born tuhý pohyb (třída B ) musí být izometrické Zabíjení pohyby. To znamená, že tuhé tělo Born má jen tři stupně svobody. Tak může být tělo přivedeno zrozeným rigidním způsobem z klidu do kteréhokoli překladový pohyb, ale nelze jej přenést zrozeným rigidním způsobem z klidu do rotačního pohybu.^[9]

Stresy a Bornova tuhost

Ukázal to Herglotz (1911),^[10] že relativistické teorie pružnosti lze vycházet z předpokladu, že napětí nastane, když je porušena podmínka Bornovy tuhosti.^[11]

Příkladem porušení Born rigidity je Ehrenfestův paradox: I když stát rovnoměrný kruhový pohyb těla patří mezi povolené Born tuhé pohyby třída B, tělo nelze přivést z jiného stavu pohybu do rovnoměrného kruhového pohybu, aniž by došlo k porušení podmínky Bornovy tuhosti během fáze, ve které tělo prochází různými zrychleními. Ale pokud tato fáze skončí a dostředivé zrychlení stane se konstantní, tělo se může rovnoměrně otáčet v souladu s Bornovou rigiditou Stejně tak, pokud je nyní v rovnoměrném kruhovém pohybu, nelze tento stav změnit, aniž by se znovu porušila Bornova tuhost těla.

Dalším příkladem je Bellův paradox: Pokud jsou koncové body těla zrychleny s konstantními správnými zrychleními v přímém směru, pak musí mít přední koncový bod nižší správné zrychlení, aby byla zachována konstantní správná délka, aby byla splněna Bornova tuhost. Bude také vykazovat rostoucí Lorentzovu kontrakci ve vnějším setrvačném rámci, to znamená, že ve vnějším rámci koncové body těla nezrychlují současně. Pokud je však zvolen jiný profil zrychlení, kterým se koncové body těla současně zrychlují se stejným správným zrychlením, jaké je vidět ve vnějším setrvačném rámu, jeho tuhost Born bude porušena, protože konstantní délka ve vnějším rámci znamená zvýšení správné délky v skládací rámec kvůli relativitě simultánnosti. V tomto případě křehké vlákno rozložené mezi dvěma raketami zažije napětí (která se nazývají Herglotz – Dewan – Beran^[8]) a následně se rozbije.

Narozené tuhé pohyby

Klasifikace povolených, zejména rotačních, Bornových tuhých pohybů v plochém provedení Minkowského časoprostor dal Herglotz,^[4] který také studoval Friedrich Kottler (1912, 1914),^[12] Georges Lemaître (1924),^[13] Adriaan Fokker (1940),^[14] George Salzmann & Abraham H. Taub (1954).^[7] Herglotz poukázal na to, že kontinuum se pohybuje jako tuhé těleso, když jsou světové linie jeho bodů ekvidistantní křivky v ${ displaystyle mathbf {R} ^ {4}}$. Výsledné světové linie lze rozdělit do dvou tříd:

Třída A: Irrotační pohyby

Herglotz definoval tuto třídu ve smyslu ekvidistantních křivek, které jsou ortogonální trajektorie rodiny hyperplanes, což lze také považovat za řešení a Riccatiho rovnice^[15] (toto bylo nazýváno „pohybem letadla“ společností Salzmann & Taub^[7] nebo „irrotační tuhý pohyb“ od Boyera^[16][17]). Došel k závěru, že pohyb takového tělesa je zcela určen pohybem jednoho z jeho bodů.

Obecnou metriku pro tyto irrotační pohyby uvedl Herglotz, jehož práci shrnul zjednodušený zápis Lemaître (1924). Také Fermi metrické ve formě dané Christian Møller (1952) pro tuhé rámce s libovolným pohybem původu byl identifikován jako „nejobecnější metrika pro irrotační tuhý pohyb ve speciální relativitě“.^[18] Obecně se ukázalo, že irrotační Bornův pohyb odpovídá těm Fermiho kongruencím, z nichž lze jako základní linii použít jakoukoli světovou linii (homogenní Fermiho kongruence).^[19]

Herglotz 1909	${ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + varphi (db, dc) - Theta ^ {2} d vartheta ^ {2}}$[20]
Lemaître 1924	${ displaystyle { begin {aligned} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + phi ^ {2} dt ^ {2} & quad left ( phi = lx + my + nz + p right) end {zarovnáno}}}$[21]
Møller 1952	${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} left [1 + { frac {g _ { kappa } x ^ { kappa}} {c ^ {2}}} vpravo] ^ {2}}$[22]

Již Born (1909) poukázal na to, že tuhé těleso v translačním pohybu má maximální prostorové prodloužení v závislosti na jeho zrychlení, daném vztahem ${ displaystyle b$, kde ${ displaystyle b}$ je správné zrychlení a ${ displaystyle R}$ je poloměr koule, ve které je těleso umístěno, čím vyšší je správné zrychlení, tím menší je maximální prodloužení tuhého tělesa.^[2] Zvláštní případ translačního pohybu s konstantním správným zrychlením je znám jako hyperbolický pohyb se světovou linkou

narozený 1909	${ displaystyle { begin {zarovnáno} & x = -q xi, quad y = eta, quad z = zeta, quad t = { frac {p} {c ^ {2}}} xi & quad left (p = { frac {dx} {d tau}}, quad q = - { frac {dt} {d tau}} = { sqrt {1 + p ^ { 2} / c ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$[23]
Herglotz 1909	${ displaystyle x = x ', quad y = y', quad tz = (t'-z ') e ^ { vartheta}, quad t + z = (t' + z ') e ^ {- vartheta}}$[24] ${ displaystyle x = x_ {0}, quad y = y_ {0}, quad z = { sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$[25]
Sommerfeld 1910	${ displaystyle { begin {zarovnáno} & x = r cos varphi, quad y = y ', quad z = z', quad l = r sin varphi & quad left (l = ict, quad varphi = i psi right) end {zarovnáno}}}$[26]
Kottler 1912, 1914	${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, quad x ^ {(3)} = b cos iu, quad x ^ {(4)} = b sin iu & ds ^ {2} = - c ^ {2} d tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} end {zarovnáno}}}$[27] ${ displaystyle x = x_ {0}, quad y = y_ {0}, quad z = b cosh u, quad ct = b sinh u}$[28]

Třída B: Rotační izometrické pohyby

Herglotz definoval tuto třídu pomocí ekvidistantních křivek, které jsou trajektoriemi pohybové skupiny s jedním parametrem^[29] (toto bylo nazýváno „skupinovým pohybem“ společností Salzmann & Taub^[7] a byl identifikován s izometrické Zabíjení pohyb podle Felix Pirani & Gareth Williams (1962)^[30]). Poukázal na to, že se skládají ze světových linií, jejichž tři zakřivení jsou konstantní (známé jako zakřivení, kroucení a hypertorze), tvořící a spirála.^[31] Světové linie konstantních zakřivení v plochém časoprostoru studoval také Kottler (1912),^[12] Petrův (1964),^[32] John Lighton Synge (1967, který je nazval časově podobné helixy v plochém časoprostoru),^[33] nebo Letaw (1981, který je nazval stacionárními světovými linkami)^[34] jako řešení Frenet-Serretovy vzorce.

Herglotz dále oddělil třídu B pomocí čtyř jednoparametrických skupin Lorentzových transformací (loxodromní, eliptické, hyperbolické, parabolické) analogicky k hyperbolické pohyby (tj. izometrické automorfismy hyperbolického prostoru), a poukázal na to, že Bornův hyperbolický pohyb (který vyplývá z hyperbolické skupiny s ${ displaystyle alpha = 0}$ v zápisu Herglotze a Kottlera, ${ displaystyle lambda = 0}$ v zápisu Lemaître, ${ displaystyle q = 0}$ v zápisu Synge; viz následující tabulka) je jediný Born tuhý pohyb, který patří do obou tříd A a B.

Loxodromická skupina (kombinace hyperbolického pohybu a rovnoměrné rotace)
Herglotz 1909	${ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i lambda vartheta}, quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i lambda vartheta}, quad tz = (t'-z ') e ^ { vartheta}, quad t + z = (t' + z ') e ^ {- vartheta}}$[35]
Kottler 1912, 1914	${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {(1)} = a cos lambda left (u-u_ {0} right), quad x ^ {(2)} = a sin lambda left (u-u_ {0} right), quad x ^ {(3)} = b cos iu, quad x ^ {(4)} = b sin iu & ds ^ {2} = -c ^ {2} d tau ^ {2} = - vlevo (b ^ {2} -a ^ {2} lambda ^ {2} vpravo) (du) ^ {2} end {zarovnáno} }}$[36]
Lemaître 1924	${ displaystyle { begin {zarovnáno} & xi = x cos lambda ty sin lambda t, quad eta = x sin lambda t + y cos lambda t, quad zeta = z cosh t, quad tau = z sinh t & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 lambda r ^ {2} d theta dt + left (z ^ {2} - lambda ^ {2} r ^ {2} right) dt ^ {2} end {zarovnáno}}}$[37]
Synchronizovat 1967	${ displaystyle x = q omega ^ {- 1} sin omega s, quad y = -q omega ^ {- 1} cos omega s, quad z = r chi ^ {- 1} cosh chi s, quad t = r chi ^ {- 1} sinh chi s}$[38]
Eliptická skupina (rovnoměrná rotace)
Herglotz 1909	${ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i vartheta}, quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i vartheta}, quad z = z' , quad t = t '+ delta vartheta}$[39]
Kottler 1912, 1914	${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {(1)} = a cos lambda left (u-u_ {0} right), quad x ^ {(2)} = a sin lambda left (u-u_ {0} right), quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)}, quad x ^ {(4)} = iu & ds ^ { 2} = - c ^ {2} d tau ^ {2} = - vlevo (1-a ^ {2} lambda ^ {2} vpravo) (du) ^ {2} end {zarovnáno}} }$[40]
de Sitter 1916	${ displaystyle { begin {aligned} & theta '= theta - omega ct, left (d sigma ^ { prime 2} = dr ^ { prime 2} + r ^ { prime 2} d theta ^ { prime 2} + dz ^ { prime 2} right) & ds ^ {2} = - d sigma ^ { prime 2} -2r ^ { prime 2} omega d theta 'cdt + left (1-r ^ { prime 2} omega ^ {2} right) c ^ {2} dt ^ {2} end {zarovnáno}}}$[41]
Lemaître 1924	${ displaystyle { begin {zarovnáno} & xi = x cos lambda ty sin lambda t, quad eta = x sin lambda t + y cos lambda t, quad zeta = z , quad tau = t & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 lambda r ^ {2} d theta dt + left (1- lambda ^ {2} r ^ {2} right) dt ^ {2} end {aligned}}}$[42]
Synchronizovat 1967	${ displaystyle x = q omega ^ {- 1} sin omega s, quad y = -q omega ^ {- 1} cos omega s, quad z = 0, quad t = sr}$[43]
Hyperbolická skupina (hyperbolický pohyb plus vesmírný překlad)
Herglotz 1909	${ displaystyle x = x '+ alpha vartheta, quad y = y', quad tz = (t'-z ') e ^ { vartheta}, quad t + z = (t' + z ' ) e ^ {- vartheta}}$[44]
Kottler 1912, 1914	${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + alpha u, quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2 )}, quad x ^ {(3)} = b cos iu, quad x ^ {(4)} = b sin iu & ds ^ {2} = - c ^ {2} d tau ^ {2} = - left (b ^ {2} - alpha ^ {2} right) (du) ^ {2} end {zarovnáno}}}$[45]
Lemaître 1924	${ displaystyle { begin {zarovnáno} & xi = x + lambda t, quad eta = y, quad zeta = z cosh t, quad tau = z sinh t & ds ^ {2 } = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 lambda dx dt + left (z ^ {2} - lambda ^ {2} right) dt ^ {2} end {zarovnáno}}}$[46]
Synchronizovat 1967	${ displaystyle x = sq, quad y = 0, quad z = r chi ^ {- 1} cosh chi s, quad t = r chi ^ {- 1} sinh chi s}$[47]
Parabolická skupina (popisující a semikubická parabola )
Herglotz 1909	${ displaystyle x = x_ {0} + { frac {1} {2}} delta vartheta ^ {2}, quad y = y_ {0} + beta vartheta, quad z = z_ {0 } + x_ {0} vartheta + { frac {1} {6}} delta vartheta ^ {3}, quad tz = delta vartheta}$[25]
Kottler 1912, 1914	${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + { frac {1} {2}} alpha u ^ {2}, quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + { frac {1} {6}} alpha u ^ {3}, quad x ^ {(4)} = ix ^ {(3)} + i alpha u & ds ^ {2} = - c ^ {2} d tau ^ {2} = - left ( alpha ^ {2} + 2x_ {0} ^ {(1)} right) (du) ^ {2} end {zarovnáno}}}$[48]
Lemaître 1924	${ displaystyle { begin {seřazeno} & xi = x + { frac {1} {2}} lambda t ^ {2}, quad eta = y + mu t, quad zeta = z + xt + { frac {1} {6}} lambda t ^ {3}, quad tau = lambda t + z + xt + { frac {1} {6}} lambda t ^ {3} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 mu dy dt + 2 lambda dz dt + left (2 lambda x + lambda ^ {2} - mu ^ {2} right) dt ^ {2} end {aligned}}}$[37]
Synchronizovat 1967	${ displaystyle x = { frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, quad y = 0, quad z = { frac {1} {2}} bs ^ {2 }, quad t = s + { frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}}$[49]

Obecná relativita

Pokusy rozšířit koncept Bornovy tuhosti na obecnou relativitu učinily Salzmann & Taub (1954),^[7] C. Beresford Rayner (1959),^[50] Pirani & Williams (1962),^[30] Robert H. Boyer (1964).^[16] Ukázalo se, že Herglotz-Noetherova věta není zcela uspokojena, protože jsou možné pevné rotující rámy nebo kongruence, které nepředstavují izometrické zabíjení.^[30]

Alternativy

Několik slabších náhrad bylo také navrženo jako podmínky tuhosti, například Noether (1909)^[5] nebo Born (1910) sám.^[6]

Moderní alternativu poskytli Epp, Mann & McGrath.^[51] Na rozdíl od obyčejné Born rigidní kongruence sestávající z „historie množiny bodů vyplňujících prostorový objem“ obnovují šest stupňů volnosti klasické mechaniky pomocí kvazilokálního rigidního rámce definováním kongruence ve smyslu „historie množiny bodů na povrchu ohraničujících prostorový objem ".

Reference

Bibliografie

• Narozen, Max (1909a), „Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips“ [Překlad Wikisource: Teorie tuhého elektronu v kinematice principu relativity ], Annalen der Physik, 335 (11): 1–56, Bibcode:1909AnP ... 335 ... 1B, doi:10.1002 / a 190935351102
• Born, Max (1909b), „Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips“ [Překlad Wikisource: Dynamika elektronu v kinematice principu relativity ], Physikalische Zeitschrift, 10: 814–817
• Narozen, Max (1910), „Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips“ [Překlad Wikisource: O kinematice tuhého těla v systému principu relativity ], Göttinger Nachrichten, 2: 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), „Gleichförmige Rotační startér Körper und Relativitätstheorie“ [Překlad Wikisource: Jednotná rotace tuhých těles a teorie relativity ], Physikalische Zeitschrift, 10: 918, Bibcode:1909PhyZ ... 10..918E
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], „Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper“ [Překlad Wikisource: Na tělech, která mají být označena jako „tuhá“ z hlediska principu relativity ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode:1910AnP ... 336..393H, doi:10,1002 / a19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), „Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie“, Annalen der Physik, 341 (13): 493–533, Bibcode:1911AnP ... 341..493H, doi:10.1002 / a 19193411303; Anglický překlad David Delphenich: O mechanice deformovatelných těles z hlediska teorie relativity.
• Noether, Fritz (1910) [1909]. „Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie“. Annalen der Physik. 336 (5): 919–944. Bibcode:1910AnP ... 336..919N. doi:10,1002 / a19103360504.
• Sommerfeld, Arnold (1910). „Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis“ [Překlad Wikisource: K teorii relativity II: čtyřrozměrná vektorová analýza ]. Annalen der Physik. 338 (14): 649–689. Bibcode:1910AnP ... 338..649S. doi:10.1002 / a19103381402.
• Kottler, Friedrich (1912). „Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt“ [překlad Wikisource: Na časoprostorových řádcích světa Minkowski ]. Wiener Sitzungsberichte 2a. 121: 1659–1759. hdl:2027 / mdp. 39015051107277.
• Kottler, Friedrich (1914a). „Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung“. Annalen der Physik. 349 (13): 701–748. Bibcode:1914AnP ... 349..701K. doi:10,1002 / a 19143491303.
• Kottler, Friedrich (1914b). „Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips“. Annalen der Physik. 350 (20): 481–516. Bibcode:1914AnP ... 350..481K. doi:10.1002 / a 19193502003.
• De Sitter, W. (1916). „O Einsteinově gravitační teorii a jejích astronomických důsledcích. Druhý dokument“. Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti. 77 (2): 155–184. Bibcode:1916MNRAS..77..155D. doi:10.1093 / mnras / 77.2.155.
• Pauli, Wolfgang (1921), „Die Relativitätstheorie“, Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 5 (2): 539–776

V angličtině: Pauli, W. (1981) [1921]. Teorie relativity. Základní teorie fyziky. 165. Dover Publications. ISBN  0-486-64152-X.

• Lemaître, G. (1924), „Pohyb pevné látky podle principu relativity“, Filozofický časopis, Řada 6, 48 (283): 164–176, doi:10.1080/14786442408634478
• Fokker, A. D. (1949), „O časoprostorové geometrii pohybujícího se tuhého tělesa“, Recenze moderní fyziky, 21 (3): 406–408, Bibcode:1949RvMP ... 21..406F, doi:10.1103 / RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. Teorie relativity. Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., & Taub, A. H. (1954), „Born tuhý pohyb v relativitě“, Fyzický přehled, 95 (6): 1659–1669, Bibcode:1954PhRv ... 95.1659S, doi:10.1103 / PhysRev.95.1659CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Rayner, C. B. (1959), „Le corps rigide en relativité générale“, Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 2: 1–15
• Pirani, F. A. E., & Williams, G. (1962), „Pevný pohyb v gravitačním poli“, Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 5: 1–16CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Petrův, V. (1964). „Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen“. Aplikace Matematiky. 9 (4): 239–240.
• Boyer, R. H. (1965), „Rigid frames in general relativity“, Sborník Královské společnosti v Londýně A, 28 (1394): 343–355, Bibcode:1965RSPSA.283..343B, doi:10.1098 / rspa.1965.0025, S2CID  120278621
• Synge, J.L. (1967) [1966]. "Timelike helices v plochém časoprostoru". Sborník Královské irské akademie, oddíl A. 65: 27–42. JSTOR  20488646.
• Grøn, Ø. (1981), „Covariantní formulace Hookeova zákona“, American Journal of Physics, 49 (1): 28–30, Bibcode:1981AmJPh..49 ... 28G, doi:10.1119/1.12623
• Letaw, J. R. (1981). "Stacionární světové linky a vakuové buzení neinertiálních detektorů". Fyzický přehled D. 23 (8): 1709–1714. Bibcode:1981PhRvD..23.1709L. doi:10.1103 / PhysRevD.23.1709.
• Bel, L. (1995) [1993], „Born's group and Generalized isometries“, Relativita obecně: Sborník jednání o relativitě'93, Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv:1103.2509, Bibcode:2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). "Bohatá struktura Minkowského prostoru". Minkowski Spacetime: O sto let později. Základní teorie fyziky. 165. Springer. str. 83. arXiv:0802.4345. Bibcode:2008arXiv0802.4345G. ISBN  978-90-481-3474-8.
• Epp, R. J., Mann, R. B. a McGrath, P. L. (2009), „Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames“, Klasická a kvantová gravitace, 26 (3): 035015, arXiv:0810.0072, Bibcode:2009CQGra..26c5015E, doi:10.1088/0264-9381/26/3/035015, S2CID  118856653CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

externí odkazy

• Zrozená tuhost, zrychlení a setrvačnost na mathpages.com
• Pevný rotující disk v relativitě v Časté dotazy k fyzice USENET