Hyperbolický pohyb (relativita) - Hyperbolic motion (relativity)

Hyperbolický pohyb lze vizualizovat na Minkowského diagramu, kde je pohyb zrychlující se částice podél ${ displaystyle X}$-osa. Každá hyperbola je definována ${ displaystyle x = pm c ^ {2} / alpha}$ a ${ displaystyle eta = alpha tau / c}$ (s ${ displaystyle c = 1, alpha = 1}$) v rovnici (2).

Hyperbolický pohyb je pohyb objektu s konstantou správné zrychlení v speciální relativita. Hyperbolický pohyb se nazývá, protože rovnice popisující cestu objektu skrz vesmírný čas je hyperbola, jak je vidět při grafu na a Minkowského diagram jehož souřadnice představují vhodný setrvačný (nezrychlený) rámec. Tento pohyb má několik zajímavých vlastností, mezi nimiž je možné předběhnout a foton pokud je zajištěn dostatečný náskok, jak lze vyvodit z diagramu.^[1]

Dějiny

Hermann Minkowski (1908) ukázal vztah mezi bodem na a světová linka a velikost čtyřrychlost a „hyperbola zakřivení“ (Němec: Krümmungshyperbel).^[2] V kontextu Narozená tuhost, Max Born (1909) následně vytvořili termín „hyperbolický pohyb“ (Němec: Hyperbelbewegung) pro případ konstantní velikosti čtyřrychlosti, pak poskytl podrobný popis pro účtováno částice v hyperbolickém pohybu a zavedl odpovídající „hyperbolicky zrychlený referenční systém“ (Němec: hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem).^[3] Bornovy vzorce byly zjednodušeny a rozšířeny o Arnold Sommerfeld (1910).^[4] První recenze najdete v učebnicích od Max von Laue (1911, 1921)^[5] nebo Wolfgang Pauli (1921).^[6] Viz také Galeriu (2015)^[7] nebo Gourgoulhon (2013),^[8] a Zrychlení (speciální relativita) #Historie.

Worldline

Správné zrychlení ${ displaystyle alpha}$ částice je definována jako akcelerace že částice „cítí“, jak se zrychluje z jedné setrvačný referenční rámec jinému. Pokud je správné zrychlení směrováno rovnoběžně s linií pohybu, souvisí s obyčejným třírychlost ve speciální relativitě ${ displaystyle a = du / dT}$ podle

${ displaystyle alpha = gamma ^ {3} a = { frac {1} { vlevo (1-u ^ {2} / c ^ {2} vpravo) ^ {3/2}}} { frac {du} {dT}},}$

kde ${ displaystyle u}$ je okamžitá rychlost částice, ${ displaystyle gamma}$ the Lorentzův faktor, ${ displaystyle c}$ je rychlost světla, a ${ displaystyle T}$ je čas souřadnic. Řešení pro pohybová rovnice poskytuje požadované vzorce, které lze vyjádřit z hlediska času souřadnic ${ displaystyle T}$ stejně jako správný čas ${ displaystyle tau}$. Pro zjednodušení lze všechny počáteční hodnoty času, umístění a rychlosti nastavit na 0, tedy:^{[5][6][9][10][11]}

${ displaystyle { begin {pole} {c | c} { begin {zarovnáno} u (T) & = { frac { alpha T} { sqrt {1+ left ({ frac { alpha T } {c}} right) ^ {2}}}} & = c tanh left ( operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}} right) X (T ) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ({ sqrt {1+ left ({ frac { alpha T} {c}} right) ^ {2}} } -1 right) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ( cosh left ( operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}}) right) -1 right) c tau (T) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} ln left ({ sqrt {1+ left ({ frac { alpha T} {c}} right) ^ {2}}} + { frac { alpha T} {c}} right) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}} end {zarovnaný}} & { begin {zarovnaný} u ( tau) & = c tanh { frac { alpha tau} {c}} X ( tau) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ( cosh { frac { alpha tau} {c}} -1 right) cT ( tau) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} sinh { frac { alpha tau} {c}} end {zarovnáno}} end {pole}}}$

(1)

To dává ${ displaystyle left (X + c ^ {2} / alpha right) ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = c ^ {4} / alpha ^ {2}}$, což je hyperbola v čase T a proměnná prostorového umístění ${ displaystyle X}$. V tomto případě je zrychlený objekt umístěn na ${ displaystyle X = 0}$ v čase ${ displaystyle T = 0}$. Pokud místo toho existují počáteční hodnoty odlišné od nuly, vzorce pro hyperbolický pohyb mají formu:^[12][13][14]

${ displaystyle { scriptstyle { begin {array} {c | c} { begin {aligned} u (T) & = { frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} { sqrt {1+ left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) ^ {2}}}} quad & = c tanh left { operatorname {arsinh} left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) right } X (T) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ({ sqrt {1+ left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) ^ {2}}} - gamma _ {0} right) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { cosh left [ operatorname {arsinh} left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) right] - gamma _ {0} right } c tau (T) & = c tau _ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} ln left ({ frac {{ sqrt { c ^ {2} + left (u_ {0} gamma _ {0} + alpha T right) {} ^ {2}}} + u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} { left (c + u_ {0} right) gamma _ {0}}} right) & = c tau _ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha} } left { operatorname {arsinh} left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) - operatorname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c}} right) right } end {aligned}} & { begin {aligned} u ( tau) & = c tanh left { opera torname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c}} right) + { frac { alpha tau} {c}} right } X ( tau) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { cosh left [ operatorname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c }} right) + { frac { alpha tau} {c}} right] - gamma _ {0} right } cT ( tau) & = cT_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { sinh left [ operatorname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c}} right) + { frac { alpha tau} {c}} right] - { frac {u_ {0} gamma _ {0}} {c}} right } end {zarovnáno}} end {pole}} }}$

Rychlost

Světovou linii pro hyperbolický pohyb (která se od nynějška bude psát jako funkce správného času) lze zjednodušit několika způsoby. Například výraz

${ displaystyle X = { frac {c ^ {2}} { alpha}} vlevo ( cosh { frac { alpha tau} {c}} - 1 vpravo)}$

mohou být vystaveny prostorovému posunu množství ${ displaystyle c ^ {2} / alpha}$, tím pádem

${ displaystyle X = { frac {c ^ {2}} { alpha}} cosh { frac { alpha tau} {c}}}$,^[15]

kterým je pozorovatel v poloze ${ displaystyle X = c ^ {2} / alpha}$ v čase ${ displaystyle T = 0}$. Dále nastavením ${ displaystyle x = c ^ {2} / alpha}$ a zavedení rychlost ${ displaystyle eta = operatorname {artanh} { frac {u} {c}} = { frac { alpha tau} {c}}}$,^[14] rovnice pro hyperbolický pohyb se redukují na^[4][16]

${ displaystyle cT = x sinh eta, quad X = x cosh eta}$

(2)

s hyperbolou ${ displaystyle X ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = x ^ {2}}$.

Nabité částice v hyperbolickém pohybu

Narozen (1909),^[3] Sommerfeld (1910),^[4] von Laue (1911),^[5] Pauli (1921)^[6] také formuloval rovnice pro elektromagnetické pole z nabité částice v hyperbolickém pohybu.^[7] Toto bylo rozšířeno o Hermann Bondi & Thomas Gold (1955)^[17] a Fulton a Rohrlich (1960)^[18][19]

${ displaystyle { begin {aligned} E _ { rho '}' = & { frac { left (8e / alpha ^ {2} right) rho 'z'} { xi ^ { prime 3 }}} E_ {z '}' = & { frac {- vlevo (4e / alpha ^ {2} vpravo) 1 / alpha ^ {2} + t ^ { prime 2} + rho ^ { prime 2} -z ^ { prime 2}} { xi ^ { prime 3}}} E _ { varphi '}' = & H _ { varphi '}' = H_ {z '} '= 0 H _ { varphi'} '= & { frac { left (8e / alpha ^ {2} right) rho' t '} { xi ^ { prime 3}}} xi '= & { sqrt { left (1 / alpha ^ {2} + t ^ { prime 2} - rho ^ { prime 2} -z ^ { prime 2} right) ^ {2} + left (2 rho '/ alpha right) ^ {2}}} end {aligned}}}$

To souvisí s kontroverzně^[20][21] diskutovaná otázka, zda poplatky ve věčném hyperbolickém pohybu vyzařují nebo ne, a zda je to v souladu s princip ekvivalence - i když jde o ideální situaci, protože neustálý hyperbolický pohyb není možný. Zatímco první autoři jako Born (1909) nebo Pauli (1921) tvrdili, že nedochází k žádnému záření, pozdější autoři jako Bondi & Gold^[17] a Fulton a Rohrlich^[18][19] ukázal, že záření skutečně vzniká.

Správný referenční rámec

Světelná cesta skrz E označuje zdánlivý horizont událostí pozorovatele P v hyperbolickém pohybu.

V rovnici (2) pro hyperbolický pohyb výraz ${ displaystyle x}$ byla konstantní, zatímco rychlost ${ displaystyle eta}$ byl variabilní. Jak však uvedl Sommerfeld,^[16] lze definovat ${ displaystyle x}$ jako proměnná, zatímco dělá ${ displaystyle eta}$ konstantní. To znamená, že z rovnic se stanou transformace označující současný klidový tvar zrychleného těla s hyperbolickými souřadnicemi ${ displaystyle (x, y, z, eta)}$ jak to vidí přítulný pozorovatel

${ displaystyle cT = x sinh eta, quad X = x cosh eta, quad Y = y, quad Z = z}$

Prostřednictvím této transformace se správný čas stane časem hyperbolicky zrychleného rámce. Tyto souřadnice, které se běžně nazývají Rindlerovy souřadnice (nazývají se podobné varianty Kottler-Møllerovy souřadnice nebo Lassovy souřadnice ), lze na něj pohlížet jako na speciální případ Fermiho souřadnic nebo Správných souřadnic a často se používají v souvislosti s Unruh efekt. Použitím těchto souřadnic se ukázalo, že pozorovatelé v hyperbolickém pohybu mají zjevné horizont událostí, za kterou se k nim nedostane žádný signál.

Speciální konformní transformace

Méně známou metodou pro definování referenčního rámce v hyperbolickém pohybu je použití speciální konformní transformace, skládající se z inverze, a překlad a další inverze. Běžně se interpretuje jako transformace měřidla v Minkowského prostoru, ačkoli někteří autoři jej alternativně používají jako akcelerační transformaci (kritický historický průzkum viz Kastrup).^[22] Má to formu

${ displaystyle X ^ { mu} = { frac {x ^ { mu} -a ^ { mu} x ^ {2}} {1-2ax + a ^ {2} x ^ {2}}} }$

Použití pouze jedné prostorové dimenze pomocí ${ displaystyle x ^ { mu} = (t, x)}$, a další zjednodušení nastavením ${ displaystyle x = 0}$a pomocí zrychlení ${ displaystyle a ^ { mu} = (0, - alpha / 2)}$, následuje^[23]

${ displaystyle T = { frac {t} {1 - { frac {1} {4}} alpha {} ^ {2} t ^ {2}}}, quad X = { frac {- alfa t ^ {2}} {2 left (1 - { frac {1} {4}} alpha {} ^ {2} t ^ {2} right)}}}$

s hyperbolou ${ displaystyle left (X-1 / alpha right) ^ {2} -T ^ {2} = 1 / alpha ^ {2}}$. Ukázalo se, že v ${ displaystyle t = pm (x + 2 / alpha)}$ čas se stává singulárním, ke kterému Fulton & Rohrlich & Witten^[23] poznamenejte, že se musíte držet dál od tohoto limitu, zatímco Kastrup^[22] (který je velmi kritický vůči interpretaci zrychlení) poznamenává, že je to jeden z podivných výsledků této interpretace.

Poznámky

Reference

• Leigh Page (Únor 1936). „Nová relativita. Příspěvek I. Základní principy a transformace mezi zrychlenými systémy“. Fyzický přehled. 49 (3): 254–268. Bibcode:1936PhRv ... 49..254P. doi:10.1103 / PhysRev.49.254.
• Leigh Page a Norman I. Adams (březen 1936). „Nová relativita. Papír II. Transformace elektromagnetického pole mezi zrychlenými systémy a silovou rovnicí“. Fyzický přehled. 49 (6): 466–469. Bibcode:1936PhRv ... 49..466P. doi:10.1103 / PhysRev.49.466.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitace, W. H. Freeman, kapitola 6, ISBN  0-7167-0344-0
• Rindler Wolfgang (1960). "Hyperbolický pohyb v zakřiveném časoprostoru". Fyzický přehled. 119 (6): 2082–2089. Bibcode:1960PhRv..119.2082R. doi:10.1103 / PhysRev.119.2082.
• Ludwik Silberstein (1914): Teorie relativity, strana 190.
• Naber, Gregory L., Geometrie Minkowského časoprostoruSpringer-Verlag, New York, 1992. ISBN  0-387-97848-8 (tvrdý obal), ISBN  0-486-43235-1 (Doverská brožovaná edice). str. 58–60.

externí odkazy

• Fyzika FAQ: Relativistická raketa
• Mathpages: Zrychlené cesty, Vyzařuje rovnoměrně se zrychlující náboj?