Krabice spline - Box spline

V matematických oblastech numerická analýza a teorie aproximace, krabicové drážkování jsou po částech polynomiální funkce několika proměnných.^[1] Krabicové splajny jsou považovány za vícerozměrné zobecnění základní splajny (B-splajny) a obecně se používají pro vícerozměrnou aproximaci / interpolaci. Geometricky je krabicový spline stín (rentgen) hyperkrychle promítnutý dolů do prostoru nižší dimenze.^[2] Krabicové splajny a simplexní splajny jsou dobře prostudované speciální případy mnohostěnných splajnů, které jsou definovány jako obecné stíny polytopes.

Definice

Krabicový spline je vícerozměrný funkce (${ displaystyle mathbb {R} ^ {d} do mathbb {R}}$) definovaný pro sadu vektorů, ${ displaystyle xi in mathbb {R} ^ {d}}$, obvykle shromážděné v matici ${ displaystyle mathbf { Xi}: = left [ xi _ {1} dots xi _ {N} right]}$.

Když je počet vektorů stejný jako rozměr domény (tj. ${ displaystyle N = d}$) pak je spline pole jednoduše (normalizované) funkce indikátoru rovnoběžnostěnu tvořeného vektory v ${ displaystyle mathbf { Xi}}$:

${ displaystyle M _ { mathbf { Xi}} ( mathbf {x}): = { frac {1} { mid { det { Xi}} mid}} chi _ { mathbf { Xi}} ( mathbf {x}) = { begin {cases} { frac {1} { mid { det { Xi}} mid}} & { text {if}} mathbf {x } = sum _ {n = 1} ^ {d} {t_ {n} xi _ {n}} { text {pro některé}} 0 leq t_ {n} <1 0 & { text { jinak}}. end {cases}}}$

Přidání nového směru, ${ displaystyle xi}$, do ${ displaystyle mathbf { Xi}}$, nebo obecně kdy ${ displaystyle N> d}$, spline pole je definováno rekurzivně:^[1]

${ displaystyle M _ { mathbf { Xi} pohár xi} ( mathbf {x}) = int _ {0} ^ {1} M _ { mathbf { Xi}} ( mathbf {x} - t xi) , { rm {d}} t.}$

Příklady křivek dvojrozměrných polí odpovídajících 1, 2, 3 a 4 vektorům ve 2D.

Krabice spline ${ displaystyle M _ { mathbf { Xi}}}$ lze interpretovat jako stín funkce indikátoru jednotky hyperkrychle v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$ když se promítá dolů do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. V tomto pohledu vektory ${ displaystyle xi in mathbf { Xi}}$ jsou geometrické projekce standardní základ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$ (tj. okraje hyperkrychle) do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$.

S ohledem na temperované distribuce pole spline spojené s jedním směrovým vektorem je a Dirac -jako zobecněná funkce podporováno dne ${ displaystyle t xi}$ pro ${ displaystyle 0 leq t <1}$. Potom je obecný spline box definován jako konvoluce distribucí přidružených spline single-vector box:

${ displaystyle M _ { mathbf { Xi}} = M _ { xi _ {1}} ast M _ { xi _ {2}} ast dots ast M _ { xi _ {N}}.}$

Vlastnosti

• Nechat ${ displaystyle kappa}$ být minimální počet směrů, jejichž odstranění z ${ displaystyle Xi}$ provede zbývající směry ne rozpětí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Pak má pole spline ${ displaystyle kappa -2}$ stupně spojitosti: ${ displaystyle M _ { mathbf { Xi}} v C ^ { kappa -2} ( mathbb {R} ^ {d})}$.^[1]
• Když ${ displaystyle N geq d}$ (a vektory v ${ displaystyle Xi}$ rozpětí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$) krabicový spline je kompaktně podporovaná funkce, jejíž podpora je a zonotop v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ vytvořený Minkowského součet směrových vektorů ${ displaystyle xi in mathbf { Xi}}$.
• Od té doby zonotopy jsou centrálně symetrické, podpora krabicového spline je symetrická vzhledem k jeho středu: ${ displaystyle mathbf {c} _ { Xi}: = { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ {N} xi _ {n}.}$
• Fourierova transformace krabičky spline, v ${ displaystyle d}$ rozměry, je dán vztahem

${ displaystyle { hat {M}} _ { Xi} ( omega) = exp (-j mathbf {c} _ { Xi} cdot omega) prod _ {n = 1} ^ { N} operatorname {sinc} ( xi _ {n} cdot omega).}$

Aplikace

Pro aplikace se používají lineární kombinace posunů jednoho nebo více splajnů skříně na mřížce. Takové splajny jsou efektivní, více než lineární kombinace simplexních splajnů, protože jsou rafinovatelné a podle definice posouvají invariantní. Tvoří proto výchozí bod pro mnohé dělící povrch stavby.

Krabicové splajny byly užitečné při charakterizaci uspořádání nadroviny.^[3] K výpočtu objemu polytopů lze také použít krabicové splajny.^[4]

V kontextu vícerozměrné zpracování signálu, krabicové drážky mohou poskytnout vícerozměrná interpolační jádra (rekonstrukční filtry) přizpůsobené nekartézským vzorkovací mřížky,^[5] a krystalografické svazy (kořenové mřížky), které obsahují mnoho informací-teoreticky optimálních mřížek vzorkování.^[6] Obecně optimální koule balení a koule pokrývající mřížky^[7] jsou užitečné pro vzorkování vícerozměrných funkcí ve 2-D, 3-D a vyšších dimenzích.^[8]Ve 2D nastavení třísměrného pole spline^[9] se používá pro interpolaci hexagonálně vzorkovaných obrazů. V nastavení 3-D čtyřsměrný^[10] a šesti směry^[11] krabicové splajny se používají pro interpolaci dat vzorkovaných na (optimální) centrovaný na tělo a kubický střed mřížky.^[5] Sedm směrový rámeček spline^[12] byl použit pro modelování povrchů a může být použit pro interpolaci dat na kartézské mřížce^[13] stejně jako tělo centrované kubické mříž.^[14] Zobecnění čtyř^[10] a šesti směry^[11] krabicové splajny do vyšších rozměrů^[15] lze použít k sestavení splajnů kořenové mřížky.^[16] Krabicové drážky jsou klíčové ingredience šestihranných drážek^[17] a Voronoi splajny^[18] které však nejsou rafinovatelné.

Box splajny našly uplatnění ve vysokodimenzionálním filtrování, konkrétně pro rychlé bilaterální filtrování a algoritmy jiných než lokálních prostředků.^[19] Kromě toho se krabicové splajny používají k navrhování účinných prostorových variant (tj. Nekonvolučních) filtrů.^[20]

Krabicové splajny jsou užitečné základní funkce pro reprezentaci obrázků v kontextu tomografická rekonstrukce problémy, protože mezery splajnu generované mezerami pole spline jsou uzavřeny pod rentgen a Radon transformuje.^[21][22] V této aplikaci, zatímco signál je reprezentován v prostorech invariantních k posunu, se projekce získávají v uzavřené formě nejednotnými překlady krabicových splajnů.^[21]

V souvislosti se zpracováním obrazu se ukázalo, že spline rámečky jsou účinné při detekci hran.^[23]

Reference