Andreotti – Norguetův vzorec - Andreotti–Norguet formula - Wikipedia

The Andreotti – Norguetův vzorec, poprvé představen Aldo Andreotti a François Norguet  (1964, 1966 ),^[1] je vyšší dimenzionální analog Cauchyho integrální vzorec za vyjádření deriváty a holomorfní funkce. Přesně tento vzorec vyjadřuje hodnotu parciální derivace ze všech multiindex objednat a holomorfní funkce několika proměnných,^[2] v každém vnitřní bod daného ohraničený doména, jako hyperplošný integrál hodnot funkce na hranice samotné domény. V tomto ohledu je to analogické a zobecňuje Bochner – Martinelliho vzorec,^[3] redukce na to, když je absolutní hodnota diferenciačního řádu multiindexu 0.^[4] Když se uvažuje o funkcích n = 1 komplexní proměnné, redukuje se na obyčejný Cauchyův vzorec pro derivaci holomorfní funkce:^[5] kdy n > 1, své integrální jádro nelze získat jednoduchou diferenciací Bochner – Martinelliho jádro.^[6]

Historická poznámka

Vzorec Andreotti-Norguet byl poprvé publikován v oznámení o výzkumu (Andreotti a Norguet 1964, str. 780):^[7] jeho úplný důkaz však byl publikován až později v příspěvku (Andreotti a Norguet 1966 207–208).^[8] Další, odlišný důkaz vzorce byl dán Martinelli (1975).^[9] V letech 1977 a 1978 Lev Aizenberg poskytl ještě další důkaz a zobecnění vzorce založeného na Cauchy – Fantappiè – Lerayovo jádro místo toho na Bochner – Martinelliho jádro.^[10]

Andreotti-Norguetův integrální reprezentační vzorec

Zápis

Zápis přijatý v následujícím popisu vzorce integrálního vyjádření je ten, který používá Kytmanov (1995, str. 9) a podle Kytmanov & Myslivets (2010, str. 20): notace použité v původních pracích a v jiných odkazech, i když jsou ekvivalentní, se výrazně liší.^[11] Přesně se předpokládá, že

• n > 1 je pevná přirozené číslo,
• ζ,  z ∈ ℂⁿ jsou komplexní vektory,
• α = (α₁,...,α_n) ∈ ℕⁿ je multiindex jehož absolutní hodnota je |α|,
• D ⊂ ℂⁿ je ohraničená doména, jejíž uzavření je D,
• A(D) je funkční prostor funkcí holomorfní na interiér z D a kontinuální na jeho hranice ∂D.
• iterované Wirtingerovy deriváty řádu α dané komplexní hodnotné funkce F ∈ A(D) jsou vyjádřeny pomocí následující zjednodušené notace:

${ displaystyle částečné ^ { alfa} f = { frac { částečné ^ {| alfa |} f} { částečné z_ {1} ^ { alfa _ {1}} cdots částečné z_ {n } ^ { alpha _ {n}}}}.}$

Jádro Andreotti – Norguet

Definice 1. Pro každý multiindex α, jádro Andreotti – Norguet ω_α (ζ, z) je následující diferenciální forma v ζ bidegree (n, n − 1):

${ displaystyle omega _ { alpha} ( zeta, z) = { frac {(n-1)! alpha _ {1}! cdots alpha _ {n}!} {(2 pi i ) ^ {n}}} sum _ {j = 1} ^ {n} { frac {(-1) ^ {j-1} ({ bar { zeta}} _ {j} - { overline {z}} _ {j}) ^ { alpha _ {j} +1} , d { bar { zeta}} ^ { alpha + I} [j] land d zeta} { vlevo (| z_ {1} - zeta _ {1} | ^ {2 ( alpha _ {1} +1)} + cdots + | z_ {n} - zeta _ {n} | ^ {2 ( alfa _ {n} +1)} vpravo) ^ {n}}},}$

kde Já = (1, ..., 1) ∈ ℕⁿ a

${ displaystyle d { bar { zeta}} ^ { alpha + I} [j] = d { bar { zeta}} _ {1} ^ { alpha _ {1} +1} land cdots land d { bar { zeta}} _ {j-1} ^ { alpha _ {j + 1} +1} land d { bar { zeta}} _ {j + 1} ^ { alpha _ {j-1} +1} land cdots land d { bar { zeta}} _ {n} ^ { alpha _ {n} +1}}$

Integrální vzorec

Věta 1 (Andreotti a Norguet). Pro každou funkci F ∈ A(D), každý bod z ∈ D a každý multiindex α, platí následující vzorec integrální reprezentace

${ displaystyle částečné ^ { alfa} f (z) = int _ { částečné D} f ( zeta) omega _ { alpha} ( zeta, z).}$

Viz také

• Bergmanova – Weilova formule

Poznámky

Reference