Alegorie (matematika) - Allegory (mathematics)

V matematické oblasti teorie kategorií, an alegorie je kategorie která má určitou strukturu kategorie Rel z sady a binární vztahy mezi nimi. Alegorie lze použít jako abstrakci kategorií vztahů a v tomto smyslu je teorie alegorie zobecněním relační algebra na vztahy mezi různými druhy. Alegorie jsou také užitečné při definování a zkoumání určitých konstrukcí v teorii kategorií, jako je přesný dokončení.

V tomto článku přijímáme konvenci, že morfismy skládat zprava doleva, tak RS znamená „nejdřív S, pak udělejte R".

Definice

Alegorie je a kategorie ve kterém

• každý morfismus ${displaystyle Rcolon X o Y}$ je spojen s anti-involuce, tj. morfismus ${displaystyle R ^ {circ} dvojtečka Y o X}$ s ${displaystyle R ^ {circ circ} = R}$ a ${displaystyle (RS) ^ {circ} = S ^ {circ} R ^ {circ} {ext {;}}}$ a
• každý pár morfismů ${displaystyle R, Scolon X o Y}$ se společnou doménou / doménou je spojen s doménou průsečík, tj. morfismus ${displaystyle Rcap Scolon X o Y}$

všechno takové

• křižovatky jsou idempotentní: ${displaystyle Rcap R = R,}$ komutativní: ${displaystyle Rcap S = Scap R,}$ a asociativní: ${displaystyle (Rcap S) cap T = Rcap (Scap T);}$
• anti-involuce distribuuje přes křižovatku: ${displaystyle (Rcap S) ^ {circ} = S ^ {circ} čepice R ^ {circ};}$
• složení je semi-distribuční přes křižovatku: ${displaystyle R (Scap T) subseteq RScap RT}$ a ${displaystyle (Rcap S) Tsubseteq RTcap ST;}$ a
• zákon o modularitě je splněn: ${displaystyle RScap Tsubseteq (Rcap TS ^ {circ}) S.}$

Zde zkracujeme pomocí pořadí definovaného průnikem: ${displaystyle Rsubseteq S}$ prostředek ${displaystyle R = Rcap S.}$

Prvním příkladem alegorie je kategorie množin a vztahů. The předměty této alegorie jsou sady a morfismus ${displaystyle X o Y}$ je binární vztah mezi X a Y. Složení morfismů je složení vztahů, a anti-involuce ${displaystyle R}$ je konverzní vztah ${displaystyle R ^ {circ}}$: ${displaystyle yR ^ {circ} x}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle xRy}$. Průnik morfismů je (set-teoretický) průsečík vztahů.

Pravidelné kategorie a alegorie

Alegorie vztahů v pravidelných kategoriích

V kategorii C, a vztah mezi objekty X a Y je rozpětí morfismů ${displaystyle Xgets R o Y}$ to je společně monic. Dvě takové rozpětí ${displaystyle Xgets S o Y}$ a ${displaystyle Xgets T o Y}$ jsou považovány za rovnocenné, když mezi nimi existuje izomorfismus S a T díky nimž se všechno dojíždí; přísně vzato, vztahy jsou definovány pouze do ekvivalence (lze to formalizovat buď pomocí tříd ekvivalence nebo pomocí dvoukategorií ). Pokud kategorie C má produkty, vztah mezi X a Y je totéž jako a monomorfismus do X × Y (nebo rovnocenná třída takových). V přítomnosti odvolání a pořádný faktorizační systém lze definovat složení vztahů. Kompozice ${displaystyle Xgets R o Ygets S o Z}$ je nalezen nejprve stažením cospanu ${displaystyle R o Ygets S}$ a poté pořízení společně monického obrazu výsledného rozpětí ${displaystyle Xgets Rgets ullet o S o Z.}$

Složení vztahů bude asociativní, pokud je faktorizační systém přiměřeně stabilní. V tomto případě lze zvážit kategorii Rel (C), se stejnými objekty jako C, ale kde morfismy jsou vztahy mezi objekty. Vztahy identity jsou úhlopříčky ${displaystyle X o X imes X.}$

A běžná kategorie (kategorie s konečnými limity a obrázky, ve kterých jsou kryty stabilní při zpětném rázu) má stabilní pravidelný systém faktorizace epi / mono. Kategorie vztahů pro běžnou kategorii je vždy alegorie. Anti-involuce je definována otočením zdroje / cíle relace a křižovatky jsou křižovatkami podobjekty, počítáno pullback.

Mapy v alegoriích a tabulkách

Morfismus R v alegorii A se nazývá a mapa pokud je celá ${displaystyle (1subseteq R ^ {circ} R)}$ a deterministické ${displaystyle (RR ^ {circ} subseteq 1).}$ Jiným způsobem, jak to říci, je, že mapa je morfismus, který má pravý adjoint v A když A se za použití struktury místní objednávky považuje za a 2-kategorie. Mapy v alegorii jsou uzavřeny podle identity a složení. Existuje tedy podkategorie Mapa(A) z A se stejnými objekty, ale pouze s mapami jako s morfismem. Pro běžnou kategorii C, existuje izomorfismus kategorií ${displaystyle Ccong operatorname {Map} (operatorname {Rel} (C)).}$ Zejména morfismus v Mapa (Rel (Soubor)) je jen obyčejný nastavit funkci.

V alegorii morfismus ${displaystyle Rcolon X o Y}$ je v tabulce dvojicí map ${displaystyle fcolon Z o X}$ a ${displaystyle gcolon Z o Y}$ -li ${displaystyle gf ^ {circ} = R}$ a ${displaystyle f ^ {circ} fcap g ^ {circ} g = 1.}$ Alegorie se nazývá tabelární pokud má každý morfismus tabulku. Pro běžnou kategorii C, alegorie Rel (C) je vždy tabulkový. Na druhou stranu pro jakoukoli tabulkovou alegorii Akategorie Mapa(A) of maps is a locally regular category: it has pullbacks, ekvalizéry a obrázky, které jsou stabilní při odvolání. To stačí ke studiu vztahů v Mapa(A), a v tomto nastavení, ${displaystyle Acong operatorname {Rel} (operatorname {Map} (A)).}$

Unital alegorie a pravidelné kategorie map

A jednotka v alegorii je předmět U pro které je identita největším morfismem ${displaystyle U o U,}$ a takový, že od každého jiného objektu existuje celý vztah k U. Alegorie s jednotkou se nazývá unital. Vzhledem k tabulkové alegorii Akategorie Mapa(A) je běžná kategorie (má koncový objekt ) právě tehdy A je unital.

Sofistikovanější druhy alegorie

Další vlastnosti alegorií lze axiomatizovat. Distribuční alegorie mít svaz - jako operace, která je vhodně dobře vychovaná, a alegorie divize mít zevšeobecnění divizního provozu relační algebra. Alegorie moci jsou alegorie distribuční divize s dalšími výkonová sada -jako struktura. Ze spojení mezi alegorie a regulárními kategoriemi lze vyvinout spojení mezi alegorie moci a klade.

Reference

• Peter Freyd, Andre Scedrov (1990). Kategorie, Alegorie. Mathematical Library Vol 39. Severní Holandsko. ISBN  978-0-444-70368-2.

• Peter Johnstone (2003). Náčrtky slona: Kompendium teorie topos. Oxford Science Publications. OUP. ISBN  0-19-852496-X.