Antoines náhrdelník - Antoines necklace - Wikipedia
![Antoinův náhrdelník](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Antoine%27s_Necklace_Iteration_1.png/200px-Antoine%27s_Necklace_Iteration_1.png)
![Antoinův náhrdelník](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Antoine%27s_Necklace_Iteration_2.png/200px-Antoine%27s_Necklace_Iteration_2.png)
V matematice Antoinův náhrdelník je topologické zakotvení Cantor set v 3-dimenzionálním euklidovském prostoru, jehož doplněk není jednoduše připojeno. Slouží také jako protiklad k tvrzení, že vše Cantorovy prostory jsou vzájemně homeomorfní. Objevil jej Louis Antoine (1921 ).
Konstrukce
Antoinův náhrdelník je konstruován iteračně takto: Začněte s pevný torus A0 (iterace 0). Dále postavte "náhrdelník" z menších, spojených tori, které leží uvnitř A0. Tento náhrdelník je A1 (iterace 1). Každý torus se skládá A1 lze nahradit jiným menším náhrdelníkem, jak bylo vyrobeno A0. Tímto způsobem se získá A2 (iterace 2).
Tento proces lze opakovat nespočetně nekonečně mnohokrát za účelem vytvoření An pro všechny n. Antoinův náhrdelník A je definován jako průsečík všech iterací.
Vlastnosti
Vzhledem k tomu, že pevné tori jsou voleny tak, aby se libovolně zmenšovaly s rostoucím počtem iterací, připojené komponenty A musí být jednotlivé body. Je potom snadné to ověřit A je Zavřeno, sám o sobě hustý, a úplně odpojen, které mají mohutnost kontinua. To stačí k závěru, že jako abstraktní metrický prostor A je homeomorfní se sadou Cantor.
Jako podmnožina euklidovského prostoru A není běžně homeomorfní se standardní sadou Cantor C, vložený do R3 na úsečka. To znamená, že neexistuje žádná bi-spojitá mapa z R3 → R3 který nese C na A. Abychom to ukázali, předpokládejme, že taková mapa byla h : R3 → R3a zvažte smyčku k který je propojen s náhrdelníkem. k nelze bez dotyku trvale zmenšit na bod A protože dvě smyčky nelze trvale odpojit. Nyní zvažte jakoukoli smyčku j disjunktní od C. j lze zmenšit do určité míry bez dotyku C protože to můžeme jednoduše posunout mezerovými intervaly. Smyčka G = h−1(k) je smyčka, která nemůže být zmenšen do bodu bez dotyku C, což je v rozporu s předchozím tvrzením. Proto, h nemůže existovat.
Ve skutečnosti neexistuje žádný homeomorfismus R3 odesílání A na sadu Hausdorffovy dimenze <1, protože doplněk takové sady musí být jednoduše připojen.
Antoinův náhrdelník používal James Waddell Alexander (1924 ) konstruovat Antoinova rohatá koule (podobné, ale ne stejné jako Alexandrova rohatá koule ).
Viz také
Reference
- Antoine, Louis (1921), „Sur l'homeomorphisme de deux figure et leurs voisinages“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 221–325
- Alexander, J. W. (1924), „Poznámky k množině bodů vytvořené Antoinem“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 10 (1): 10–12, Bibcode:1924PNAS ... 10 ... 10A, doi:10.1073 / pnas.10.1.10, JSTOR 84203, PMC 1085501, PMID 16576769
- Brechner, Beverly L .; Mayer, John C. (1988), „Antoinův náhrdelník aneb Jak zabránit tomu, aby se náhrdelník rozpadl“, The College Mathematics Journal, 19 (4): 306–320, doi:10.2307/2686463, JSTOR 2686463
- Pugh, Charles Chapman (2002). Skutečná matematická analýza. Springer New York. str.106–108. doi:10.1007/978-0-387-21684-3. ISBN 9781441929419.