Tečný prostor k funktoru - Tangent space to a functor

V algebraické geometrii je tečný prostor funktoru zobecňuje klasickou konstrukci tečného prostoru, jako je Zariski tečný prostor. Konstrukce je založena na následujícím pozorování.^[1] Nechat X být schématem nad polem k.

Dát a ${ displaystyle k [ epsilon] / ( epsilon) ^ {2}}$- bod X je totéž jako dát a k-racionální bod str z X (tj. reziduální pole str je k) spolu s prvkem ${ displaystyle ({ mathfrak {m}} _ {X, p} / { mathfrak {m}} _ {X, p} ^ {2}) ^ {*}}$; tj. tečný vektor v str.

(Chcete-li to vidět, použijte skutečnost, že jakýkoli místní homomorfismus ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {p} to k [ epsilon] / ( epsilon) ^ {2}}$ musí mít formu

${ displaystyle delta _ {p} ^ {v}: u mapsto u (p) + epsilon v (u), quad v in { mathcal {O}} _ {p} ^ {*}. }$)

Nechat F být funktorem z kategorie k-algebry do kategorie sad. Pak pro všechny k-směřovat ${ Displaystyle p in F (k)}$, vlákno z ${ displaystyle pi: F (k [ epsilon] / ( epsilon) ^ {2}) do F (k)}$ přes str se nazývá tečný prostor na F na str.^[2]Pokud funktor F zachovává vláknité produkty (např. pokud se jedná o schéma), může být tangenciálnímu prostoru dána struktura vektorového prostoru k. Li F je schéma X přes k (tj., ${ displaystyle F = operatorname {Hom} _ { operatorname {Spec} k} ( operatorname {Spec} -, X)}$), pak každý proti jak je uvedeno výše, lze identifikovat derivací na str a to dává identifikaci ${ displaystyle pi ^ {- 1} (p)}$ s prostorem derivací v str a obnovíme obvyklou konstrukci.

Konstrukci lze považovat za definici analogu tečný svazek následujícím způsobem.^[3] Nechat ${ displaystyle T_ {X} = X (k [ epsilon] / ( epsilon) ^ {2})}$. Pak pro jakýkoli morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ schémat přes k, jeden vidí ${ displaystyle f ^ { #} ( delta _ {p} ^ {v}) = delta _ {f (p)} ^ {df_ {p} (v)}}$; to ukazuje, že mapa ${ displaystyle T_ {X} až T_ {Y}}$ že F indukuje je přesně rozdíl F pod výše uvedenou identifikací.

Reference

• A. Borel, Lineární algebraické skupiny
• David Eisenbud; Joe Harris (1998). Geometrie schémat. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98637-5. Zbl  0960.14002.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157