Yamabe problém - Yamabe problem

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Yamabe problém odkazuje na domněnku v matematickém poli diferenciální geometrie, který byl vyřešen v 80. letech. Je to prohlášení o skalární zakřivení z Riemannovy rozdělovače:

Nechat (M,G) být uzavřené hladké Riemannovo potrubí. Pak existuje pozitivní a plynulá funkce F na M taková, že Riemannova metrika fg má konstantní skalární zakřivení.

Výpočtem vzorce pro skalární zakřivení fg se týká toho z G, toto prohlášení lze přeformulovat v následující podobě:

Nechat (M,G) být uzavřené hladké Riemannovo potrubí. Pak existuje pozitivní a plynulá funkce φ na Ma číslo C, takový, že

${displaystyle {frac {4 (n-1)} {n-2}} Delta ^ {g} varphi + R ^ {g} varphi + cvarphi ^ {(n + 2) / (n-2)} = 0. }$

Tady n označuje rozměr M, R^G označuje skalární zakřivení G, a ∆^G označuje operátora Laplace-Beltrami z G.

Matematik Hidehiko Yamabe, v novinách Yamabe (1960), uvedl výše uvedená tvrzení jako věty a poskytl důkaz; nicméně, Trudinger (1968) objevil chybu v jeho důkazu. Problém s porozuměním, zda jsou výše uvedená tvrzení pravdivá nebo nepravdivá, se stal známým jako problém Yamabe. Kombinovaná práce Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin, a Richard Schoen poskytl kladné řešení problému v roce 1984.

Nyní je to považováno za klasický problém v geometrická analýza, s důkazem vyžadujícím nové metody v oblasti diferenciální geometrie a parciální diferenciální rovnice. Rozhodujícím bodem v konečném řešení Schoenova problému byla aplikace věta o pozitivní energii z obecná relativita, což je čistě diferenciálně geometrická matematická věta poprvé prokázaná (v prozatímním prostředí) v roce 1979 Schoenem a Shing-Tung Yau.

Došlo k novější práci kvůli Simon Brendle Marcus Khuri, Fernando Codá Marques a Schoen, zabývající se shromažďováním všech pozitivních a plynulých funkcí F takové, že pro dané Riemannovo potrubí (M,G), metrika fg má konstantní skalární zakřivení. Navíc problém Yamabe představovaný v podobných nastaveních, jako například u kompletních nekompaktních Riemannovských variet, ještě není plně pochopen.

Yamabe problém ve zvláštních případech

Zde odkazujeme na „řešení Yamabeho problému“ na Riemmannově potrubí ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ jako Riemannova metrika G na M pro které existuje pozitivní plynulá funkce ${displaystyle varphi: M o mathbb {R},}$ s ${displaystyle g = varphi ^ {- 2} {overline {g}}.}$

Na uzavřeném Einsteinově potrubí

Nechat ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ být hladkým Riemannovým potrubím. Zvažte pozitivní hladkou funkci ${displaystyle varphi: M o mathbb {R},}$ aby ${displaystyle g = varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ je libovolný prvek hladké konformní třídy ${displaystyle {overline {g}}.}$ Zobrazí se standardní výpočet

${displaystyle {overline {R}} _ {ij} - {frac {1} {n}} {overline {R}} {overline {g}} _ {ij} = R_ {ij} - {frac {1} { n}} Rg_ {ij} + {frac {n-2} {varphi}} {Big (} abla _ {i} abla _ {j} varphi + {frac {1} {n}} g_ {ij} Delta varphi {Velký)}.}$

Užívání G-vnitřní produkt s ${displaystyle extstyle varphi (operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg)}$ výsledky v

${displaystyle varphi leftlangle {overline {operatorname {Ric}}} - {frac {1} {n}} {overline {R}} {overline {g}}, operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rgightangle _ {g} = varphi {Big |} operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg {Big |} _ {g} ^ {2} + (n-2) {Big (} {ig langle} operatorname {Ric}, operatorname {Hess} varphi {ig angle} _ {g} - {frac {1} {n}} RDelta varphi {Big)}.}$

Li ${displaystyle {overline {g}}}$ se předpokládá, že je Einstein, pak levá strana zmizí. Li ${displaystyle M}$ Předpokládá se, že je uzavřeno, pak lze provést integraci po částech, připomínající identitu Bianchi ${displaystyle extstyle operatorname {div} operatorname {Ric} = {frac {1} {2}} abla R,}$ vidět

${displaystyle int _ {M} varphi {Big |} operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg {Big |} ^ {2}, dmu _ {g} = (n-2) {Big ( } {frac {1} {2}} - {frac {1} {n}} {Big)} int _ {M} langle abla R, abla varphi angle, dmu _ {g}.}$

Li R má konstantní skalární zakřivení, pak pravá strana zmizí. Následné zmizení levé strany dokazuje následující skutečnost, vzhledem k Obatovi (1971):

Každé řešení problému Yamabe na uzavřeném Einsteinově potrubí je Einstein.

Na uzavřeném potrubí s konstantním zakřivením

Nechat ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ být uzavřené Riemannovo potrubí s konstantním zakřivením. Nechat ${displaystyle extstyle varphi: M o mathbb {R}}$ být kladná plynulá funkce, takže Riemannova metrika ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ má konstantní skalární zakřivení. Jak je uvedeno výše, ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ je Einsteinova metrika. Protože je konformní s metrikou s mizejícím Weylovým zakřivením, má mizející Weylovo zakřivení samo. Podle Weylův rozklad, z toho vyplývá, že předpoklady Schurovo lemma pro Riemannův tenzor jsou splněny; závěr Schurova lemmatu je takový ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ má konstantní zakřivení. Celkem:

Každé řešení problému Yamabe na uzavřeném potrubí s konstantním zakřivením má konstantní zakřivení.

Ve zvláštním případě ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ je standard n- sféra, z toho vyplývá, že každé řešení problému Yamabe má konstantní pozitivní zakřivení, protože n-sphere nepodporuje žádnou metriku nepozitivního zakřivení; jinak by došlo k rozporu s Cartan-Hadamardova věta. Jelikož každé dvě Riemannovy metriky koule, které mají stejné konstantní zakřivení, jsou izometrické, lze usoudit:

Nechat ${displaystyle {overline {g}}}$ označit standardní Riemannovu metriku ${displaystyle S ^ {n}.}$ Každé řešení problému Yamabe ${displaystyle (S ^ {n}, {overline {g}})}$ je ve formě ${displaystyle alpha Phi ^ {ast} {overline {g}}}$ pro kladné číslo ${displaystyle alpha}$ a difeomorfismus ${displaystyle Phi: S ^ {n} o S ^ {n}}$.

Nekompaktní pouzdro

Úzce související otázkou je takzvaný „nekompaktní problém Yamabe“, který se ptá: Je pravda, že při každém hladkém dokončení Riemannovo potrubí (M,G) který není kompaktní, existuje metrika, která je konformní G, má konstantní skalární zakřivení a je také kompletní? Odpověď je ne, vzhledem k protikladům, které uvádí Jin (1988). Jsou známa různá další kritéria, podle nichž lze ukázat, že existuje řešení problému Yamabe pro nekompaktní potrubí (například Aviles & McOwen (1988) ); získání úplného pochopení toho, kdy lze problém vyřešit v nekompaktním případě, však zůstává předmětem výzkumu.

Viz také

• Tok Yamabe
• Yamabe neměnný

Reference

Články výzkumu

• Aubin, Thierry (1976), „Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe týkající se la courbure scalaire“, J. Math. Pures Appl., 55: 269–296
• Aviles, P .; McOwen, R. C. (1988), „Konformní deformace na konstantní záporné skalární zakřivení na nekompaktní Riemannově varietě“, J. Differ. Geom., 27 (2): 225–239, doi:10.4310 / jdg / 1214441781, PAN  0925121
• Jin, Zhiren (1988), „Protiklad k problému Yamabe pro kompletní nekompaktní potrubí“, Přednáška Notes Math.Přednášky z matematiky, 1306: 93–101, doi:10.1007 / BFb0082927, ISBN  978-3-540-19097-4
• Lee, John M .; Parker, Thomas H. (1987), „Problém Yamabe“, Bulletin of the American Mathematical Society, 17: 37–81, doi:10.1090 / s0273-0979-1987-15514-5.
• Obata, Morio (1971), „Domněnky o konformních transformacích Riemannovských variet“, J. Diferenciální geometrie, 6: 247–258, doi:10,4310 / jdg / 1214430407, PAN  0303464
• Schoen, Richard (1984), "Konformní deformace Riemannovy metriky na konstantní skalární zakřivení", J. Differ. Geom., 20 (2): 479–495, doi:10.4310 / jdg / 1214439291
• Trudinger, Neil S. (1968), „Poznámky týkající se konformní deformace Riemannovských struktur na kompaktních potrubích“, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 22: 265–274, PAN  0240748
• Yamabe, Hidehiko (1960), „O deformaci Riemannovských struktur na kompaktních potrubích“, Osaka Journal of Mathematics, 12: 21–37, ISSN  0030-6126, PAN  0125546

Učebnice

• Aubin, Thierry. Některé nelineární problémy v Riemannově geometrii. Springer Monografie z matematiky. Springer-Verlag, Berlín, 1998. xviii + 395 stran ISBN  3-540-60752-8
• Schoen, R .; Yau, S.-T. Přednášky o diferenciální geometrii. Poznámky k přednášce připravili Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong a Yi Chao Xu. Z čínštiny přeložili Ding a S. Y. Cheng. S předmluvou přeloženou z čínštiny Kaisingem Tso. Sborník z konference a přednášky z geometrie a topologie, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN  1-57146-012-8
• Struwe, Michael. Variační metody. Aplikace na nelineární parciální diferenciální rovnice a Hamiltonovské systémy. Čtvrté vydání. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 34. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xx + 302 pp. ISBN  978-3-540-74012-4