Yamabe neměnný - Yamabe invariant
v matematika, v oblasti diferenciální geometrie, Yamabe neměnný, označovaný také jako konstanta sigma, je invariant reálného čísla spojený s a hladké potrubí který je zachován pod difeomorfismy. Poprvé to samostatně napsali O. Kobayashi a R. Schoen a odvozuje svůj název od H. Yamabe.
Definice
Nechat být kompaktní hladké potrubí (bez hranice) dimenze . Normalizovaný Einstein – Hilbert funkční přiřadí každému Riemannova metrika na reálné číslo takto:
kde je skalární zakřivení z a je objemová hustota spojené s metrikou . Exponent ve jmenovateli je zvolen tak, aby funkcionál byl invariantní vůči měřítku: pro každou pozitivní skutečnou konstantu , to uspokojuje . Možná si myslíme jako měření průměrného skalárního zakřivení přes . Yamabe to předpokládal jako každý konformní třída metrik obsahuje metriku konstantního skalárního zakřivení (tzv Yamabe problém ); bylo to prokázáno Yamabem, Trudinger, Aubin a Schoen, že minimální hodnota je je dosaženo v každé konformní třídě metrik, a zejména je tohoto minima dosaženo pomocí metriky konstantního skalárního zakřivení.
Definujeme
kde infimum přebírá plynulé funkce se skutečnou hodnotou na . Toto infimum je konečné (ne ): Hölderova nerovnost naznačuje . Číslo se někdy nazývá konformní Yamabe energie z (a je konstantní na konformních třídách).
Argument srovnání způsobený Aubinem ukazuje, že pro jakoukoli metriku , je ohraničen výše , kde je standardní metrika na -koule . Z toho vyplývá, že pokud definujeme
kde je supremum převzato nad všemi metrikami , pak (a je zejména konečný). Thereal number se nazývá Yamabe invariant z .
Yamabe invariant ve dvou dimenzích
V případě, že , (aby M je uzavřený povrch ) funkce Einstein – Hilbert je dána vztahem
kde je Gaussovo zakřivení z G. Avšak tím, že Věta o Gauss-Bonnetovi, je integrál Gaussovy křivosti dán vztahem , kde je Eulerova charakteristika z M. Zejména toto číslo nezávisí na volbě metriky. U povrchů proto dochází k závěru, že
Například 2-koule má Yamabeův invariant rovný a 2-torus má invariantu Yamabe rovnou nule.
Příklady
Na konci 90. let byl Yamabeův invariant vypočítán pro velké třídy 4-variet Claude LeBrun a jeho spolupracovníky. Ukázalo se zejména, že většina kompaktních komplexních povrchů má negativní, přesně vypočítatelný Yamabeův invariant a že jakákoli Kähler-Einsteinova metrika záporného skalárního zakřivení realizuje Yamabeův invariant v dimenzi 4. Bylo také prokázáno, že Yamabeův invariant je realizován Fubini - metrika studia, a je tedy menší než u 4-sféry. Většina z těchto argumentů zahrnuje Teorie Seiberg – Witten, a tak jsou specifické pro dimenzi 4.
Důležitý výsledek kvůli Peteanovi uvádí, že pokud je jednoduše propojený a má rozměr , pak . Ve světle Perelmanova řešení Poincarého domněnka, z toho vyplývá, že jednoduše připojen -manifold může mít negativní Yamabe invariant pouze v případě, že . Na druhou stranu, jak již bylo naznačeno, jednoduše připojeno - rozdělovače mají ve skutečnosti často negativní Yamabeovy invarianty.
Níže je tabulka některých hladkých potrubí o dimenzi tři se známým invariantem Yamabe. V dimenzi 3 číslo je rovný a je často označován .
poznámky | ||
---|---|---|
the 3 koule | ||
triviální svazek 2 koulí [1] | ||
jedinečný neorientovatelný balíček se 2 koulemi | ||
vypočítal Bray a Neves | ||
vypočítal Bray a Neves | ||
the 3-torus |
Arelmanem kvůli Andersonovi byly Perelmanovy výsledky na Ricciho tok znamenat, že metrika konstantního zakřivení na jakémkoli hyperbolickém 3-potrubí realizuje invariant Yamabe. To nám poskytuje nekonečně mnoho příkladů 3-variet, pro které je invariant záporný i přesně vypočítatelný.
Topologický význam
Znamení Yamabe invariantní obsahuje důležité topologické informace. Například, je pozitivní a pouze pokud připouští metriku pozitivního skalárního zakřivení.[2] Význam této skutečnosti spočívá v tom, že je známo mnoho o topologii potrubí s metrikami kladného skalárního zakřivení.
Viz také
Poznámky
Reference
- M.T. Anderson „Canonical metrics on 3-manifolds and 4-manifolds“, Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
- K. Akutagawa, M. Ishida a C. LeBrun, „Perelmanův invariant, Ricciho tok a Yamabovy invarianty hladkých potrubí“, Oblouk. Matematika. 88, 71–76 (2007).
- H. Bray a A. Neves, „Klasifikace primárních 3-variet s Yamabeovým invariantem větším než ", Ann. matematiky. 159, 407–424 (2004).
- M. J. Gursky a C. LeBrun, „Yamabe invariants a struktury ", Geom. Funct. Anální. 8965–977 (1998).
- O. Kobayashi, "Skalární zakřivení metriky s jednotkovým objemem", Matematika. Ann. 279, 253–265, 1987.
- C. LeBrun, „Čtyři potrubí bez Einsteinových metrik“, Matematika. Res. Lett. 3 133–147 (1996).
- C. LeBrun, „Dimenze Kodaira a problém Yamabe,“ Comm. Anální. Geom. 7 133–156 (1999).
- J. Petean, „Yamabův invariant jednoduše připojených potrubí“, J. Reine Angew. Matematika. 523 225–231 (2000).
- R. Schoen, „Variační teorie pro celkové skalární zakřivení funkční pro Riemannovu metriku a související témata“, Témata variačního počtu, Přednáška Notes Math. 1365Springer, Berlín, 120–154, 1989.