Schursovo lemma (Riemannova geometrie) - Schurs lemma (Riemannian geometry) - Wikipedia

v Riemannova geometrie, Schurovo lemma je výsledek, který heuristicky říká, že kdykoli jsou určitá zakřivení bodově konstantní, jsou nucena být globálně konstantní. Důkazem je v podstatě jednokrokový výpočet, který má pouze jeden vstup: druhou identitu Bianchi.

Schurovo lemma pro Ricciho tenzor

Předpokládat $(M, G)$ je hladký Riemannovo potrubí s rozměrem $n$ . Připomeňme, že toto definuje pro každý prvek $p$ z $M$ :

the řezové zakřivení, který se přiřadí každému 2-dimenzionálnímu lineárnímu podprostoru $PROTI$ z $T p M$ skutečné číslo $sek p (PROTI)$
the Riemannův tenzor zakřivení, což je multilineární mapa $Rm p : T p M \times T p M \times T p M \times T p M \to ℝ$
the Ricciho zakřivení, což je symetrická bilineární mapa $Ric p : T p M \times T p M \to ℝ$
the skalární zakřivení, což je skutečné číslo $R p$

Schurovo lemma uvádí následující:

Předpokládejme to $n$ se nerovná dvěma. Pokud je zapnutá funkce κ $M$ takhle $Ric p = κ (p) G p$ pro všechny $p$ v $M$ pak $dκ = 0.$ Ekvivalentně je κ konstantní na každé připojené komponentě $M$ ; toto by také mohlo být formulováno jako tvrzení, že každá připojená součást $M$ je Einstein potrubí.

Schurovo lemma je jednoduchým důsledkem „dvakrát uzavřené sekundy Bianchi identita, “který uvádí, že

{ displaystyle operatorname {div} _ {g} operatorname {Ric} = { frac {1} {2}} dR.}

chápat jako rovnost hladkých 1 forem na $M$ . Nahrazení v daném stavu $Ric p = κ (p) G p$ , jeden to najde ${ displaystyle textstyle d kappa = { frac {n} {2}} d kappa.}$

Alternativní formulace předpokladů

Nechat $B$ být symetrický bilineární tvar na $n$ -dimenzionální vnitřní prostor produktu $(PROTI, G)$ . Pak

{ displaystyle | B | _ {g} ^ {2} = { Big |} B - { frac {1} {n}} ( operatorname {tr} ^ {g} B) g { Big |} _ {g} ^ {2} + { frac {1} {n}} ( operatorname {tr} ^ {g} B) ^ {2}.}

Dále si všimněte, že pokud $B = κ G$ pro nějaké číslo κ, pak jeden automaticky má $κ = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / n tr G B$ . S ohledem na tato pozorování lze Schurovo lemma přepracovat v následující podobě:

Nechat $(M, G)$ být spojené hladké Riemannovo potrubí, jehož rozměr se nerovná dvěma. Pak jsou ekvivalentní následující:
Je zapnutá funkce κ $M$ takhle $Ric p = κ (p) G p$ pro všechny $p$ v $M$
Existuje takové číslo κ $Ric p = κ G p$ pro všechny $p$ v $M$ , tj. $(M, G)$ je Einstein
Jeden má $Ric p = 1 / n R p G p$ pro všechny $p$ v $M$ , tj. stopový Ricciho tenzor je nulový
${ displaystyle | operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {1} {n}} R ^ {2}}$
${ displaystyle | operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} leq textstyle { frac {1} {n}} R ^ {2}.}$
Li $(M, G)$ je spojené hladké pseudo-Riemannovo potrubí, potom jsou první tři podmínky ekvivalentní a znamenají čtvrtou podmínku.

Všimněte si, že rozměrové omezení je důležité, protože každé dvojrozměrné Riemannovo potrubí, které nemá konstantní zakřivení, by bylo protikladem.

Schurovo lemma pro Riemannův tenzor

Následuje okamžitý důsledek Schurova lematu pro Ricciho tenzor.

Nechat ${ displaystyle (M, g)}$ být spojené hladké Riemannovo potrubí, jehož rozměr $n$ se nerovná dvěma. Pak jsou ekvivalentní následující:
Je zapnutá funkce κ $M$ takhle $sek p (PROTI) = κ (p)$ pro všechny $p$ v $M$ a všechny dvourozměrné lineární podprostory $PROTI$ z $T p M$
Existuje takové číslo κ $sek p (PROTI) = κ$ pro všechny $p$ v $M$ a všechny dvourozměrné lineární podprostory $PROTI$ z $T p M$ , tj. $(M, G)$ má konstantní zakřivení
$sek p (PROTI) = 1 / n (n -1) R p$ pro všechny $p$ v $M$ a všechny dvourozměrné lineární podprostory $PROTI$ z $T p M$
${ displaystyle | operatorname {Rm} _ {p} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {2} {n (n-1)}} R_ {p} ^ {2}}$ pro všechny $p$ v $M$
součet Weylovy zakřivení a polostopové části Riemannova tenzoru je nula
jak Weylovo zakřivení, tak polostopová část Riemannova tenzoru jsou nulové

Schurovo lemma pro Codazziho tenzory

Nechat $(M, G)$ být plynulým Riemannovým nebo pseudo-Riemannovým varietou dimenze $n$ . Nechat $h$ hladké symetrické (0,2) -tenzorové pole, jehož kovariantní derivace, s ohledem na spojení Levi-Civita, je zcela symetrická. Podmínka symetrie je obdobou Bianchi identita; pokračováním v analogii je možné najít stopu

{ displaystyle operatorname {div} ^ {g} h = d { big (} operatorname {tr} ^ {g} h { big)}.}

Pokud je zapnutá funkce κ $M$ takhle $h p = κ (p) G p$ pro všechny $p$ v $M$ , pak po nahrazení jeden najde

{ Displaystyle d kappa = n cdot d kappa.}

Proto $n > 1$ znamená, že κ je konstantní na každé připojené komponentě $M$ . Jak je uvedeno výše, lze potom v této souvislosti uvést Schurovo lemma:

Nechat $(M, G)$ být spojené hladké Riemannovo potrubí, jehož rozměr se nerovná jedné. Nechat $h$ být plynulé symetrické pole (0,2) tenzoru, jehož kovariantní derivace je zcela symetrická jako pole tenzoru (0,3). Pak jsou ekvivalentní:
je zapnutá funkce κ $M$ takhle $h p = κ (p) G p$ pro všechny $p$ v $M$
existuje takové číslo κ $h p = κ G p$ pro všechny $p$ v $M$
$h p = 1 / n (tr G h p) G p$ pro všechny $p$ v $M$ , tj. bez stopové formy $h$ je nula
${ displaystyle | h_ {p} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {1} {n}} ( operatorname {tr} ^ {g} h_ {p}) ^ {2}}$ pro všechny $p$ v $M$
${ displaystyle | h_ {p} | _ {g} ^ {2} leq textstyle { frac {1} {n}} ( operatorname {tr} ^ {g} h_ {p}) ^ {2} }$ pro všechny $p$ v $M$
Li $(M, G)$ je spojené a hladké pseudo-Riemannovo potrubí, pak první tři jsou ekvivalentní a znamenají čtvrté a páté.

Aplikace

Schurova lemata se často používají k prokázání zaoblení geometrických objektů. Pozoruhodným příkladem je charakterizace limitů konvergence geometrické toky.

Například klíčová součást Richard Hamilton Průlom roku 1982 v toku Ricci^[1] byl jeho „štípající odhad“, který neformálně uvedl, že pro Riemannovu metriku, která se objevuje ve 3-násobném Ricciho toku s kladným Ricciho zakřivením, jsou vlastní hodnoty Ricciho tenzoru blízké jeden druhému vzhledem k velikosti jejich součtu. Pokud jeden normalizuje součet, pak jsou vlastní čísla blízko sebe v absolutním smyslu. V tomto smyslu každá z metrik, která se objevuje ve 3-násobném toku Ricci pozitivního Ricciho zakřivení „přibližně“, splňuje podmínky Schurova lemmatu. Samotné Schurovo lema není výslovně použito, ale jeho důkaz se účinně provádí prostřednictvím Hamiltonových výpočtů.

Stejným způsobem je Schurovo lemma pro Riemannův tenzor použit ke studiu konvergence Ricciho toku ve vyšších dimenzích. To sahá až k Gerhard Huisken rozšíření Hamiltonova díla do vyšších dimenzí,^[2] kde hlavní částí práce je to, že Weylův tenzor a polostopový Riemannův tenzor se v dlouhodobém limitu staly nulovými. To se vztahuje na obecnější Ricciho věty o konvergenci toku, jejichž některé expozice přímo používají Schurovo lemma.^[3] To zahrnuje důkaz o věta o diferencovatelné kouli.

Schurovo lemma pro Codazziho tenzory je použito přímo v Huiskenově základním dokumentu o konvergenci střední tok zakřivení, který byl postaven na Hamiltonově práci.^[4] V závěrečných dvou větách Huiskenova článku se dospělo k závěru, že jeden má hladké vložení ${ displaystyle S ^ {n} to mathbb {R} ^ {n + 1}}$ s

{ displaystyle | h | ^ {2} = { frac {1} {n}} H ^ {2},}

kde ${ displaystyle h}$ je druhou základní formou a ${ displaystyle H}$ je střední zakřivení. Schurovo lemma znamená, že střední zakřivení je konstantní a obraz tohoto vložení pak musí být standardní kulatá koule.

Další aplikace se týká plné izotropie a zakřivení. Předpokládejme to ${ displaystyle (M, g)}$ je spojené třikrát diferencovatelné Riemannovo potrubí, a to pro každého ${ displaystyle p v M}$ skupina izometrií ${ displaystyle operatorname {Isom} (M, g)}$ působí přechodně na ${ displaystyle T_ {p} M.}$ To znamená pro všechny ${ displaystyle p v M}$ a všechno ${ displaystyle v, w in T_ {p} M}$ existuje izometrie ${ displaystyle varphi: (M, g) až (M, g)}$ takhle ${ displaystyle varphi (p) = p}$ a ${ displaystyle d varphi _ {p} (v) = w.}$ To z toho vyplývá ${ displaystyle operatorname {Isom} (M, g)}$ také působí přechodně na ${ displaystyle { text {Gr}} (2, T_ {p} M),}$ tj. pro každého ${ displaystyle P, Q v { text {Gr}} (2, T_ {p} M)}$ existuje izometrie ${ displaystyle varphi: (M, g) až (M, g)}$ takhle ${ displaystyle varphi (p) = p}$ a ${ displaystyle d varphi _ {p} (P) = Q.}$ Protože izometrie zachovávají zakřivení řezu, znamená to, že ${ displaystyle operatorname {sec} _ {p}}$ je konstantní pro každého ${ displaystyle p v M.}$ Schurovo lemma to naznačuje ${ displaystyle (M, g)}$ má konstantní zakřivení. Obzvláště pozoruhodná aplikace tohoto je jakýkoli časoprostor který modeluje kosmologický princip musí být zdeformovaným součinem intervalu a Riemannova potrubí s konstantním zakřivením. Viz O'Neill (1983, strana 341).

Stabilita

Nedávný výzkum zkoumal případ, že podmínky Schurova lematu jsou splněny pouze přibližně.

Uvažujme o Schurově lematu ve formě „Pokud je stopový Ricciho tenzor bez stopy, pak je skalární zakřivení konstantní.“ Camillo De Lellis a Peter Topping^[5] ukázaly, že pokud je bez stopový Ricciho tenzor přibližně nula, pak je skalární zakřivení přibližně konstantní. Přesně:

Předpokládat ${ displaystyle (M, g)}$ je uzavřené Riemannovo potrubí s nezáporným Ricciho zakřivením a dimenzí ${ displaystyle n geq 3.}$ Pak kde ${ displaystyle { overline {R}}}$ označuje průměrnou hodnotu skalárního zakřivení, kterou jeden má

{ displaystyle int _ {M} (R - { overline {R}}) ^ {2} , d mu _ {g} leq { frac {4n (n-1)} {(n- 2) ^ {2}}} int _ {M} { Big |} operatorname {Ric} - { frac {1} {n}} Rg { Big |} _ {g} ^ {2} , d mu _ {g}.}

Dále zvažte Schurovo lema ve speciální formě „If ${ displaystyle Sigma}$ je připojený vložený povrch v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ jehož stopová druhá základní forma je nula, pak je její střední zakřivení konstantní. " Camillo De Lellis a Stefan Müller^[6] ukázaly, že pokud je bezstopová druhá základní forma kompaktního povrchu přibližně nulová, pak je střední zakřivení přibližně konstantní. Přesně

existuje číslo ${ displaystyle C}$ takové, že pro jakýkoli hladký kompaktní připojený zapuštěný povrch ${ displaystyle Sigma podmnožina mathbb {R} ^ {3},}$ jeden má

{ displaystyle int _ { Sigma} (H - { overline {H}}) ^ {2} , d mu _ {g} leq C int _ { Sigma} { Big |} h - { frac {1} {2}} Hg { Big |} _ {g} ^ {2} , d mu _ {g},}

kde

{ displaystyle h}

je druhá základní forma,

{ displaystyle g}

je indukovaná metrika a

{ displaystyle H}

je střední zakřivení

{ displaystyle operatorname {tr} _ {g} h.}

Jako žádost lze vyvodit, že ${ displaystyle Sigma}$ sama o sobě je „blízko“ kulaté sféře.

Reference

^ Hamilton, Richard S. (1982). "Tři potrubí s pozitivním Ricciho zakřivením". J. Diferenciální geometrie. 17 (2): 255–306.
^ Huisken, Gerhard (1985). "Ricciho deformace metriky na Riemannově potrubí". J. Diferenciální Geom. 21 (1): 47–62.
^ Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard (2008). "Rozdělovače s kladnými operátory zakřivení jsou vesmírné formy". Ann. matematiky. (2). 167 (3): 1079–1097.
^ Huisken, Gerhard (1984). "Průtok středním zakřivením konvexních povrchů do koulí". J. Diferenciální Geom. 20 (1): 237–266.
^ De Lellis, Camillo; Topping, Peter M. (2012). „Téměř Schurovo lemma“. Calc. Var. Parciální diferenciální rovnice. 443 (3–44): 347–354.
^ De Lellis, Camillo; Müller, Stefan (2005). "Optimální odhady tuhosti pro téměř pupeční povrchy". J. Diferenciální Geom. 69 (1): 75–110.

Shoshichi Kobayashi a Katsumi Nomizu. Základy diferenciální geometrie. Sv. I. Interscience Publishers, divize společnosti John Wiley & Sons, New York-London 1963 xi + 329 pp.
Barrett O'Neill. Semi-Riemannova geometrie. S aplikacemi na relativitu. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1983. xiii + 468 pp. ISBN 0-12-526740-1

[1] Hamilton, Richard S. (1982). "Tři potrubí s pozitivním Ricciho zakřivením". J. Diferenciální geometrie. 17 (2): 255–306.

[2] Huisken, Gerhard (1985). "Ricciho deformace metriky na Riemannově potrubí". J. Diferenciální Geom. 21 (1): 47–62.

[3] Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard (2008). "Rozdělovače s kladnými operátory zakřivení jsou vesmírné formy". Ann. matematiky. (2). 167 (3): 1079–1097.

[4] Huisken, Gerhard (1984). "Průtok středním zakřivením konvexních povrchů do koulí". J. Diferenciální Geom. 20 (1): 237–266.

[5] De Lellis, Camillo; Topping, Peter M. (2012). „Téměř Schurovo lemma“. Calc. Var. Parciální diferenciální rovnice. 443 (3–44): 347–354.

[6] De Lellis, Camillo; Müller, Stefan (2005). "Optimální odhady tuhosti pro téměř pupeční povrchy". J. Diferenciální Geom. 69 (1): 75–110.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]