Tok Yamabe - Yamabe flow

v diferenciální geometrie, Tok Yamabe je vnitřní geometrický tok —Proces, který deformuje the metrický a Riemannovo potrubí. Poprvé představen Richard S. Hamilton,[Citace je zapotřebí ] Tok Yamabe je pro nekompaktní potrubí a je negativní L2 -gradientní tok z (normalizovaného) součtu skalární zakřivení, omezeno na daný konformní třída: lze jej interpretovat jako deformaci Riemannovy metriky na konformní metriku konstantního skalárního zakřivení, když tento tok konverguje.

Tok Yamabe byl zaveden v reakci na Richard S. Hamilton vlastní práce na internetu Ricciho tok a Rick Schoen řešení Yamabe problém na potrubí pozitivního konformního Yamabe neměnný.

Hlavní výsledky

Pevné body toku Yamabe jsou metriky konstantního skalárního zakřivení v dané konformní třídě. Tok byl poprvé studován v 80. letech v nepublikovaných poznámkách Richarda Hamiltona. Hamilton se domníval, že pro každou počáteční metriku tok konverguje do konformní metriky konstantního skalárního zakřivení. To ověřil Rugang Ye v místně konformně plochém případě.[1] Později, Simon Brendle prokázaná konvergence toku pro všechny konformní třídy a libovolné počáteční metriky.[2] Metrika omezující konstantní skalární zakřivení již v tomto kontextu obvykle není minimalizátorem Yamabe. Zatímco je kompaktní případ vyřešen, tok na úplných, nekompaktních varietách není zcela objasněn a zůstává tématem současného výzkumu.

Poznámky

  1. ^ Ye, Rugang (1994). „Globální existence a konvergence toku Yamabe“. J. Diferenciální Geom. 39 (1): 35–50. doi:10.4310 / jdg / 1214454674.
  2. ^ Brendle, Simon (2005). „Konvergence toku Yamabe pro libovolnou počáteční energii“. J. Diferenciální Geom. 69 (2): 217–278. doi:10.4310 / jdg / 1121449107.