Podobnosti mezi Wiener a LMS - Similarities between Wiener and LMS

tento článek příliš spoléhá na Reference na primární zdroje. Vylepšete to přidáním sekundární nebo terciární zdroje. (Květen 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Únor 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Nejméně střední filtr čtverců řešení konverguje k Wienerův filtr řešení za předpokladu, že neznámý systém je LTI a hluk je stacionární. Oba filtry lze použít k identifikaci impulzní odezvy neznámého systému, protože zná pouze původní vstupní signál a výstup neznámého systému. Uvolněním kritéria chyby ke snížení aktuální chyby vzorku namísto minimalizace celkové chyby za celé n lze algoritmus LMS odvodit z Wienerova filtru.

Odvození Wienerova filtru pro identifikaci systému

Daný známý vstupní signál ${displaystyle s [n]}$, výstup neznámého systému LTI ${displaystyle x [n]}$ lze vyjádřit jako:

${displaystyle x [n] = součet _ {k = 0} ^ {N-1} h_ {k} s [n-k] + w [n]}$

kde ${displaystyle h_ {k}}$ je neznámý koeficient kohoutku filtru a ${displaystyle w [n]}$ je hluk.

Modelový systém ${displaystyle {hat {x}} [n]}$, pomocí řešení Wienerova filtru s objednávkou N, lze vyjádřit jako:

${displaystyle {hat {x}} [n] = součet _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {h}} _ {k} s [n-k]}$

kde ${displaystyle {hat {h}} _ {k}}$ jsou koeficienty odbočky filtru, které mají být stanoveny.

Chyba mezi modelem a neznámým systémem může být vyjádřena jako:

${displaystyle e [n] = x [n] - {hat {x}} [n]}$

Celková čtvercová chyba ${displaystyle E}$ lze vyjádřit jako:

${displaystyle E = součet _ {n = -infty} ^ {infty} e [n] ^ {2}}$

${displaystyle E = součet _ {n = -infty} ^ {infty} (x [n] - {hat {x}} [n]) ^ {2}}$

${displaystyle E = součet _ {n = -infty} ^ {infty} (x [n] ^ {2} -2x [n] {hat {x}} [n] + {hat {x}} [n] ^ {2})}$

Použijte Minimální střední chyba kritériem pro všechny ${displaystyle n}$ nastavením jeho spád na nulu:

${displaystyle abla E = 0}$který je${displaystyle {frac {částečné E} {částečné {hat {h}} _ {i}}} = 0}$ pro všechny ${displaystyle i = 0,1,2, ..., N-1}$

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné {hat {h}} _ {i}}} = {frac {částečné} {částečné {hat {h}} _ {i}}} součet _ {n = -infty} ^ {infty} [x [n] ^ {2} -2x [n] {hat {x}} [n] + {hat {x}} [n] ^ {2}]}$

Nahraďte definici ${displaystyle {hat {x}} [n]}$:

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné {hat {h}} _ {i}}} = {frac {částečné} {částečné {hat {h}} _ {i}}} součet _ {n = -infty} ^ {infty} [x [n] ^ {2} -2x [n] součet _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {h}} _ {k} s [nk] + (součet _ { k = 0} ^ {N-1} {hat {h}} _ {k} s [nk]) ^ {2}]}$

Distribuujte částečnou derivaci:

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné {hat {h}} _ {i}}} = součet _ {n = -infty} ^ {infty} [- 2x [n] s [ni] +2 (součet _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {h}} _ {k} s [nk]) s [ni]]}$

Použití definice diskrétní vzájemná korelace:

${displaystyle R_ {xy} (i) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] y [n-i]}$

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné {hat {h}} _ {i}}} = - 2R_ {xs} [i] + 2sum _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {h} } _ {k} R_ {ss} [ik] = 0}$

Uspořádejte podmínky:

${displaystyle R_ {xs} [i] = součet _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {h}} _ {k} R_ {ss} [i-k]}$ pro všechny ${displaystyle i = 0,1,2, ..., N-1}$

Tento systém N rovnic s N neznámými lze určit.

Výsledné koeficienty Wienerova filtru lze určit podle: ${displaystyle W = R_ {xx} ^ {- 1} P_ {xs}}$, kde ${displaystyle P_ {xs}}$ je vektor vzájemné korelace mezi ${displaystyle x}$ a ${displaystyle s}$.

Odvození algoritmu LMS

Uvolněním nekonečného součtu Wienerova filtru pouze k chybě v čase ${displaystyle n}$lze odvodit algoritmus LMS.

Čtvercovou chybu lze vyjádřit jako:

${displaystyle E = (d [n] -y [n]) ^ {2}}$

Pomocí kritéria minimální střední kvadratické chyby vezměte gradient:

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné w}} = {frac {částečné} {částečné w}} (d [n] -y [n]) ^ {2}}$

Použít řetězové pravidlo a nahradit definici y [n]

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné w}} = 2 (d [n] -y [n]) {frac {částečné} {částečné w}} (d [n] -sum _ {k = 0} ^ {N-1} {hat {w}} _ {k} x [nk])}$

${displaystyle {frac {částečné E} {částečné w_ {i}}} = - 2 (e [n]) (x [n-i])}$

Pomocí klesání a velikosti kroku ${displaystyle mu}$:

${displaystyle w [n + 1] = w [n] -mu {frac {částečné E} {částečné w}}}$

který se stává pro i = 0, 1, ..., N-1,

${displaystyle w_ {i} [n + 1] = w_ {i} [n] + 2 mu (e [n]) (x [n-i])}$

Toto je rovnice aktualizace LMS.

Viz také

• Wienerův filtr
• Nejméně střední filtr čtverců

Reference

• J.G. Proakis a D.G. Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Prentice-Hall, 4. vydání, 2007.