Duální vlnka - Dual wavelet

v matematika, a duální vlnka je dvojí do a vlnka. Obecně platí, že vlnková řada generované a čtvercově integrovatelný funkce bude mít duální sérii ve smyslu Rieszova věta o reprezentaci. Avšak duální řada není sama o sobě obecně reprezentovatelná funkcí integrovatelnou do čtverce.

Definice

Vzhledem k integraci do čtverce ${ displaystyle psi v L ^ {2} ( mathbb {R})}$ , definujte řadu ${ displaystyle { psi _ {jk} }}$ podle

{ displaystyle psi _ {jk} (x) = 2 ^ {j / 2} psi (2 ^ {j} x-k)}

pro celá čísla ${ displaystyle j, k in mathbb {Z}}$ .

Taková funkce se nazývá R-funkce pokud je lineární rozpětí ${ displaystyle { psi _ {jk} }}$ je hustý v ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ , a pokud existují kladné konstanty A, B s ${ displaystyle 0$ takhle

{ displaystyle A Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} leq { bigg Vert} sum _ {jk = - infty} ^ { infty} c_ {jk } psi _ {jk} { bigg Vert} _ {L ^ {2}} ^ {2} leq B Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} , }

pro všechny bi-nekonečné čtvercový součet série ${ displaystyle {c_ {jk} }}$ . Tady, ${ displaystyle Vert cdot Vert _ {l ^ {2}}}$ označuje normu čtvercového součtu:

{ displaystyle Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} = sum _ {jk = - infty} ^ { infty} vert c_ {jk} vert ^ {2 }}

a ${ displaystyle Vert cdot Vert _ {L ^ {2}}}$ označuje obvyklou normu na ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ :

{ displaystyle Vert f Vert _ {L ^ {2}} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} vert f (x) vert ^ {2} dx}

Podle Rieszova věta o reprezentaci, existuje jedinečný duální základ ${ displaystyle psi ^ {jk}}$ takhle

{ displaystyle langle psi ^ {jk} vert psi _ {lm} rangle = delta _ {jl} delta _ {km}}

kde ${ displaystyle delta _ {jk}}$ je Kroneckerova delta a ${ displaystyle langle f vert g rangle}$ je obvyklé vnitřní produkt na ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ . Ve skutečnosti existuje jedinečný série reprezentace pro funkci integrovatelnou do čtverce F vyjádřeno na tomto základě:

{ displaystyle f (x) = součet _ {jk} langle psi ^ {jk} vert f rangle psi _ {jk} (x)}

Pokud existuje funkce ${ displaystyle { tilde { psi}} v L ^ {2} ( mathbb {R})}$ takhle

{ displaystyle { tilde { psi}} _ {jk} = psi ^ {jk}}

pak ${ displaystyle { tilde { psi}}}$ se nazývá duální vlnka nebo wavelet dual na ψ. Obecně platí, že pro některé dané R-funkce ψ, duální nebude existovat. Ve zvláštním případě ${ displaystyle psi = { tilde { psi}}}$ , o vlnce se říká, že ortogonální vlnka.

Příklad R-funkce bez duálního je snadno konstruovatelná. Nechat ${ displaystyle phi}$ být ortogonální vlnka. Pak definujte ${ displaystyle psi (x) = phi (x) + z phi (2x)}$ pro nějaké komplexní číslo z. Je jednoduché ukázat, že toto ψ nemá wavelet dual.

Viz také

Multirezoluční analýza

Reference

Charles K. Chui, Úvod do vlnky (analýza vlnky a její aplikace)(1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8