Morletova vlnka - Morlet wavelet


v matematika, Morletova vlnka (nebo Gaborova vlnka)[1] je vlnka složený z a komplexní exponenciální (dopravce ) vynásobeno a Gaussovo okno (obálka). Tato vlnka úzce souvisí s lidským vnímáním, a to jak sluchem[2] a vize.[3]
Dějiny
V roce 1946 fyzik Dennis Gabor, aplikace nápadů z kvantová fyzika, představil použití sinusoidů s Gaussovým oknem pro časově-frekvenční rozklad, který označoval jako atomy, a které poskytují nejlepší kompromis mezi prostorovým a frekvenčním rozlišením.[1] Používají se v Gaborova transformace, typ krátkodobá Fourierova transformace.[2] V roce 1984 Jean Morlet představil Gaborovo dílo seismologické komunitě a spolu s Goupillaudem a Grossmannem jej upravil tak, aby udržoval stejný tvar vlnky ve stejných oktávových intervalech, což mělo za následek první formalizaci spojitá vlnková transformace.[4] (Viz také Historie vlnek )
Definice
Vlnka je definována jako konstanta odečteno od rovinné vlny a poté lokalizováno a Gaussian okno:[5]
kde je definováno kritériem přípustnosti a normalizační konstantou je:
The Fourierova transformace morletské vlnky je:
„Centrální frekvence“ je pozice globálního maxima což je v tomto případě dáno pozitivním řešením:
který může být vyřešen a iterace s pevným bodem začínající na (iterace s pevným bodem konvergují k jedinečnému pozitivnímu řešení pro jakoukoli počáteční )[Citace je zapotřebí ].
Parametr v Morletově waveletu umožňuje obchodování mezi časem a frekvenčním rozlišením. Konvenčně omezení se používá, aby se předešlo problémům s Morletovým waveletem na nízké úrovni (vysoké časové rozlišení)[Citace je zapotřebí ].
U signálů obsahujících pouze pomalu se měnící frekvenci a amplitudové modulace (například audio) není nutné používat malé hodnoty . V tomto případě, se stává velmi malým (např. ), a je proto často opomíjen. Podle omezení , frekvence morletové vlnky se obvykle považuje za [Citace je zapotřebí ].
Vlnka existuje jako složitá verze nebo čistě reálná verze. Někteří rozlišují mezi „skutečným Morletem“ a „komplexním Morletem“.[6] Jiní považují tuto komplexní verzi za „Gaborovu vlnku“, zatímco ve skutečné hodnotě je „Morletova vlnka“.[7][8]
Použití
Použití v medicíně
Prezentovaná metoda Morletovy vlnkové transformace nabízí intuitivní most mezi frekvenčními a časovými informacemi, který může objasnit interpretaci komplexních spekter traumatu hlavy získaných s Fourierova transformace. Morletova vlnková transformace však není zamýšlena jako náhrada za Fourierovu transformaci, ale spíše jako doplněk, který umožňuje kvalitativní přístup k časovým změnám a využívá výhod více dimenzí dostupných v bezplatný indukční úpadek analýza.[9]
Aplikace Morletovy vlnkové analýzy se také používá k rozlišení abnormálního chování srdečního rytmu na elektrokardiogramu (EKG). Protože variace abnormálního srdečního rytmu je nestacionární signál, je tento signál vhodný pro analýzu založenou na vlnkách.
Použití v hudbě
U transkripce hudby je použita metoda Morletovy vlnkové transformace. Produkuje velmi přesné výsledky, které nebyly možné pomocí technik Fourierovy transformace. Morletova vlnková transformace je schopna zachytit krátké dávky opakujících se a střídajících se not s jasným začátkem a koncem pro každou notu.[Citace je zapotřebí ]
Viz také
Reference
- ^ A b Gabor Primal Skica v reálném čase pro vizuální pozornost „Gaborovo jádro splňuje podmínku přípustnosti pro vlnky, a proto je vhodné pro analýzu s více rozlišeními. Kromě měřítka je také známé jako Morlet Wavelet.“
- ^ A b Časově-frekvenční slovníky, Mallat
- ^ J. G. Daugman. Vztah nejistoty pro rozlišení v prostoru, prostorové frekvenci a orientaci optimalizovaný dvourozměrnými vizuálními kortikálními filtry. Journal of the Optical Society of America A, 2 (7): 1160–1169, červenec 1985.
- ^ http://rocksolidimages.com/pdf/gabor.pdf
- ^ John Ashmead (2012). „Morletské vlnky v kvantové mechanice“. Kvantě. 1 (1): 58–70. arXiv:1001.0250. doi:10.12743 / quanta.v1i1.5.
- ^ „Rodiny Waveletů v Matlabu“. Archivováno od originálu 10. 8. 2019.
- ^ Dokumentace Mathematica: GaborWavelet
- ^ Dokumentace Mathematica: MorletWavelet
- ^ http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf
- P. Goupillaud, A. Grossman a J. Morlet. Cyklus-oktáva a související transformace v analýze seismických signálů. Geoexploration, 23: 85-102, 1984
- N. Delprat, B. Escudié, P. Guillemain, R. Kronland-Martinet, P. Tchamitchian a B. Torrésani. Asymptotická vlnková a Gaborova analýza: extrakce okamžitých frekvencí. IEEE Trans. Inf. Th., 38: 644-664, 1992