Waterman polyhedron - Waterman polyhedron

v geometrie, Waterman polyhedra jsou rodina mnohostěn objeven kolem roku 1990 matematikem Steve Waterman. Waterman mnohostěn je vytvořen balicí koule podle kubické uzavření (st) balení (CCP), poté smetla koule, které jsou dále od středu než definovaný poloměr,[1] pak vytvoření konvexní obal center koulí.

  • Cubic Close (st) Balené koule s poloměrem √24

  • Odpovídající Watermanův mnohostěn W24 Počátek 1

Klastr Waterman / FCC W5
Waterman / FCC polyhedra interpretace koule shluku w5

Waterman polyhedra tvoří obrovskou rodinu mnohostěnů. Některé z nich mají řadu pěkných vlastností, například několik symetrií nebo zajímavé a pravidelné tvary. Jiné jsou jen souborem tváří vytvořených z nepravidelných konvexní polygony.

Nejoblíbenější Watermanovy polyhedry jsou ty, které mají středy v bodě (0,0,0) a jsou postaveny ze stovek polygonů. Takové mnohostěny připomínají koule. Ve skutečnosti, čím více tváří má Watermanův mnohostěn, tím více se podobá ohraničená koule v objemu a celkové ploše.

S každým bodem 3D prostoru můžeme spojit rodinu Watermanových mnohostěnů s různými hodnotami poloměrů ohraničených koulí. Z matematického hlediska tedy můžeme považovat Watermanovu mnohostenu za 4D prostory W (x, y, z, r), kde x, y, z jsou souřadnice bodu ve 3D a r je kladné číslo větší než 1 .[2]

Sedm původů kubického uzavření (st) balení (CCP)

V CCP může být definováno sedm původů,[3] kde n = {1, 2, 3,…}:

  • Počátek 1: offset 0,0,0, poloměr sqrt (2n)
  • Počátek 2: offset 1 / 2,1 / 2,0, poloměr sqrt (2 + 4n) / 2
  • Počátek 3: offset 1 / 3,1 / 3,2 / 3, poloměr čtverec (6 (n + 1)) / 3
  • Počátek 3 *: offset 1 / 3,1 / 3,1 / 3, poloměr sqrt (3 + 6n) / 3
  • Počátek 4: offset 1 / 2,1 / 2,1 / 2, poloměr čtverec (3 + 8 (n-1)) / 2
  • Počátek 5: offset 0,0,1 / 2, poloměr sqrt (1 + 4n) / 2
  • Počátek 6: offset 1,0,0, poloměr sqrt (1 + 2 (n-1))

V závislosti na původu zametání se získá odlišný tvar a výsledný mnohostěn.

Waterman Overview.png

Vztah k platonickým a archimédským pevným látkám

Některé Waterman polyhedra vytvořit Platonické pevné látky a Archimédovy pevné látky. Pro toto srovnání Watermanových mnohostěn jsou normalizovány, např. W2 O1 má jinou velikost nebo objem než W1 O6, ale má stejnou formu jako osmistěn.

Platonické pevné látky

  • Čtyřstěn: W103 *, W203 *, W103, W104
  • Octahedron: W2 O1, W1 O6
  • Krychle: W2 O6
  • Icosahedron a dodecahedron nemají zastoupení jako Waterman polyhedra.

Archimédovy pevné látky

W7 O1 může být zaměněn za zkrácený cuboctahedron, také W3 O1 = W12 O1 mylně považováno za a kosočtverec, ale tyto Watermanovy mnohostěny mají dvě délky hran, a proto se nekvalifikují jako archimédské pevné látky.

Zobecněný Waterman mnohostěn

Zobecněné Watermanovy mnohostěny jsou definovány jako konvexní trup odvozený z množiny bodů jakékoli sférické extrakce z pravidelné mřížky.

Zahrnuta je podrobná analýza následujících 10 mřížek - BCC, Cuboctahedron, Diamond, FCC, HCP, zkrácený osmistěn, kosočtverečný dvanáctistěn, jednoduchý kubický, zkrácený tet tet, zkrácený tet zkrácený osmistěn cuboctahedron.

Každá z 10 mřížek byla zkoumána, aby se izolovaly ty konkrétní počáteční body, které vykazovaly jedinečný mnohostěn, stejně jako minimální požadavek na symetrii. Ze životaschopného počátečního bodu v mříži existuje neomezená řada mnohostěnů. Vzhledem ke správnému intervalu rozmítání mezi nimi existuje vzájemná korespondence celočíselná hodnota a zobecněný Watermanův mnohostěn.

Poznámky

  1. ^ Popko, Edward S. (2012). Rozdělené sféry: Geodetika a řádné rozdělení sféry. CRC Press. 174–177. ISBN  9781466504295.
  2. ^ Vizualizace Waterman Polyhedra s MuPAD autor M. Majewski
  3. ^ 7 Počátky CCP Waterman polyhedra Mark Newbold

externí odkazy