Sasakian potrubí - Sasakian manifold
v diferenciální geometrie, a Sasakian potrubí (pojmenoval podle Shigeo Sasaki ) je kontaktní potrubí vybavené zvláštním druhem Riemannova metrika , nazvaný a Sasakian metrický.
Definice
Sasakianova metrika je definována pomocí konstrukce Riemannovský kužel. Vzhledem k Riemannovo potrubí , produktem je jeho Riemannovský kužel
z s půlřádkou , vybavené metrický kužel
kde je parametr v .
Potrubí vybaveno 1-formulářem je kontakt, pokud a pouze v případě, že 2-formulář
na jeho kuželu je symplektický (toto je jedna z možných definic kontaktní struktury). Kontaktní Riemannovo potrubí je Sasakian, pokud jeho Riemannovský kužel s metrikou kužele je Kähler potrubí s formulářem Kähler
Příklady
Jako příklad zvažte
kde pravá strana je přirozené Kählerovo potrubí a čte se jako kužel nad koulí (vybaven vloženou metrikou). Kontaktní 1 formulář na je forma spojená s tečným vektorem , zkonstruovaný z jednotkového normálního vektoru do koule ( je složitá struktura ).
Dalším nekompaktním příkladem je se souřadnicemi obdařen kontaktním formulářem
a Riemannovu metriku
Jako třetí příklad zvažte:
kde pravá strana má přirozenou Kählerovu strukturu a skupina jedná odrazem na počátku.
Dějiny
Sasakian potrubí bylo představeno v roce 1960 japonským geometrem Shigeo Sasaki.[1] Po polovině 70. let, až do příchodu roku 2006, se v této oblasti příliš nevyvíjelo Teorie strun. Od té doby si sasakianské potrubí získaly důležitost ve fyzice a algebraické geometrii, většinou díky řetězci příspěvků Charles P. Boyer a Krzysztof Galicki a jejich spoluautoři.
Vektorové pole Reeb
The homotetické vektorové pole na kuželu přes sasakianské potrubí je definováno jako
Protože kužel je podle definice Kähler, existuje složitá struktura J. The Reeb vektorové pole na sasaskianském potrubí je definováno jako
Nikde to nezmizí. Dojíždí se všemi holomorfními Vražedné vektory na kuželu a zejména se všemi izometrie sasakianského potrubí. Pokud se oběžné dráhy vektorového pole uzavřou, pak je prostor oběžných drah Kählerův orbifold. Reebové vektorové pole na sasakianském potrubí v poloměru jednotky je jednotkové vektorové pole a tangenciální k vložení.
Sasaki – Einsteinova potrubí
Sasakian potrubí je potrubí, jehož Riemannovým kuželem je Kähler. Pokud je navíc tento kužel Ricci-byt, je nazýván Sasaki – Einstein; Pokud to je hyperkähler, je nazýván 3-Sasakian. Jakékoli 3-sasakian potrubí je jak Einstein potrubí a spin potrubí.
Li M je pozitivně-skalární zakřivení Kahler – Einsteinova potrubí, tedy pozorováním Shoshichi Kobayashi, svazek kruhů S ve své kanonické linii svazek připouští metodu Sasaki – Einstein, a to způsobem, který činí projekci z S na M do Riemannova ponoření. (Například z toho vyplývá, že existují metriky Sasaki – Einstein o vhodných kruhové svazky přes 3. až 8. den povrchy del Pezzo.) I když tato Riemannova konstrukce ponoření poskytuje správný místní obraz jakéhokoli potrubí Sasaki – Einstein, globální struktura těchto potrubí může být komplikovanější. Například lze obecněji sestavit rozdělovače Sasaki – Einstein vycházející z Kahler – Einstein orbifold M. Pomocí tohoto pozorování Boyer, Galicki a János Kollár zkonstruovalo nekonečně mnoho homeotypů pětinásobného potrubí Sasaki-Einstein. Stejná konstrukce ukazuje, že prostor modulů Einsteinových metrik na 5 sféře má alespoň několik set připojených komponent.
Poznámky
Reference
- Shigeo Sasaki „Na rozlišitelných rozdělovačích potrubích s určitými strukturami, které úzce souvisejí s téměř kontaktní strukturou“, Matematika Tohoku. J. 2 (1960), 459-476.
- Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki, Sasakian geometrie
- Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki, "3-sasakianské rozdělovače ", Průzkumy se liší. Geom. 7 (1999) 123-184
- Dario Martelli, James Sparks a Shing-Tung Yau, "Rozdělovače Sasaki-Einstein a minimalizace objemu ", ArXiv hep-th / 0603021