Banach – Tarski Paradox (kniha) - The Banach–Tarski Paradox (book)

Banach – Tarski paradox je kniha z matematiky o Banach – Tarski paradox skutečnost, že jednotková koule může být rozdělena na konečný počet podmnožin a znovu sestavena tak, aby vytvořila dvě jednotkové koule. Napsal to Stan Wagon a publikováno v roce 1985 Cambridge University Press jako svazek 24 jejich knižní série Encyklopedie matematiky a její aplikace.^{[1][2][3][4][5]} Druhý tisk v roce 1986 přidal dvě stránky jako dodatek a brožovaný tisk z roku 1993 přidal novou předmluvu.^[6]V roce 2016 vydala Cambridge University Press druhé vydání a spoluautorem Grzegorze Tomkowicze byl svazek 163 stejné série.^[7][8] Výbor pro základní seznam knihoven Mathematical Association of America doporučil jeho zařazení do vysokoškolských knihoven matematiky.^[8]

Témata

Paradox Banach – Tarski, prokázaný Stefan Banach a Alfred Tarski v roce 1924 uvádí, že je možné rozdělit trojrozměrný jednotková koule na konečně mnoho kusů a znovu je sestavit do dvou jednotkových koulí, jedné koule větší nebo menší plochy nebo jakékoli jiné ohraničená množina s neprázdným interiér. Ačkoli se jedná o matematickou větu, říká se jí paradox, protože je tak protiintuitivní; v předmluvě ke knize, Jan Mycielski nazývá to nejpřekvapivějším výsledkem v matematice. Je to úzce spjato s teorie míry a neexistence míry na všech podmnožinách trojrozměrného prostoru, invariantní pod všemi shody vesmíru a teorie paradoxní množiny v skupiny zdarma a zastoupení z těchto skupin trojrozměrné rotace, použitý v důkazu paradoxu. Tématem knihy je paradox Banach – Tarski, jeho důkaz a řada souvisejících výsledků, které se od té doby staly známými.^[3][5]

Kniha je rozdělena do dvou částí, první o existenci paradoxních rozkladů a druhá o podmínkách, které jejich existenci znemožňují.^[1][7] Po dvou kapitolách podkladového materiálu první část dokazuje samotný Banach-Tarski paradox, uvažuje o prostorech vyšších dimenzí a neeuklidovská geometrie, studuje počet kusů nezbytných pro paradoxní rozklad a nalezne analogické výsledky jako Banach – Tarski paradox pro jednorozměrné a dvourozměrné množiny. Druhá část obsahuje související Tarskiho větu, že kongruence-invariantní konečně-aditivní opatření zabraňují existenci paradoxních rozkladů, věta, která Lebesgueovo opatření je jediné takové opatření na Lebesgueových měřitelných množinách, materiál na přístupné skupiny, připojení k axiom volby a Hahnova – Banachova věta.^[3][7] Popisují tři přílohy Euklidovské skupiny, Jordan opatření a soubor otevřených problémů.^[1]

Druhé vydání přidává materiál k několika nedávným výsledkům v této oblasti, v mnoha případech inspirovaným prvním vydáním knihy. Trevor Wilson prokázal existenci nepřetržitého pohybu od sestavy s jednou kuličkou po sestavu se dvěma kuličkami, přičemž sady přepážky byly stále disjunktní; tuto otázku položil de Groot v prvním vydání knihy.^[7][9] Miklós Laczkovich vyřešen Tarskiho problém kruhových čtverců, žádající o pitvu a disk do a náměstí stejné oblasti, v roce 1990.^[7][8][10] A Edward Marczewski v roce 1930 se zeptal, zda lze paradox Banach – Tarski dosáhnout pouze za použití Baire soupravy; pozitivní odpověď byla nalezena v roce 1994 autorem Randall Dougherty a Matthew Foreman.^[8][11]

Publikum a příjem

Kniha je napsána na úrovni přístupné absolventům matematiky, ale poskytuje přehled výzkumu v této oblasti, který by měl být užitečný i pro pokročilejší výzkumné pracovníky.^[3] Počáteční části knihy, včetně jejího důkazu o paradoxu Banach-Tarski, by také měly být čitelné vysokoškolskými matematiky.^[4]

Recenzent Włodzimierz Bzyl píše, že „tato krásná kniha je psána opatrně a určitě stojí za přečtení“.^[2] Recenzent John J. Watkins píše, že první vydání knihy „se stalo klasickým textem o paradoxní matematice“ a že druhé vydání „překračuje všechna možná očekávání, která bych mohl mít pro rozšíření knihy, kterou jsem si již hluboce cenil“.^[8]

Reference