Tarskisův problém kvadratury kruhů - Tarskis circle-squaring problem - Wikipedia

Tarskiho problém kruhových čtverců je výzva, kterou představuje Alfred Tarski v roce 1925, aby se disk v letadle nakrájejte na konečně mnoho kusů a znovu je poskládejte tak, abyste získali a náměstí stejného plocha. To se ukázalo jako možné Miklós Laczkovich v roce 1990; rozklad těžce využívá axiom volby a proto je nekonstruktivní. Laczkovich odhadl počet kusů ve svém rozkladu na zhruba 1050. Více nedávno Andrew Marks a Spencer Unger (2017 ) dal zcela konstruktivní řešení pomocí Borel kusy.

Zejména je nemožné rozřezat kruh a vytvořit čtverec pomocí kousků, které by mohly být řezány pomocí idealizovaný nůžky (tj. mít Jordanova křivka hranice). Kusy použité v Laczkovichově důkazu jsou neměřitelné podmnožiny.

Laczkovich ve skutečnosti dokázal, že opětovné sestavení lze provést pouze pomocí překladů; rotace nejsou nutné. Cestou také dokázal, že je to jednoduché polygon v rovině lze rozložit na konečně mnoho kusů a znovu sestavit pomocí překladů pouze za vzniku čtverce stejné plochy. The Bolyai – Gerwienova věta je příbuzný, ale mnohem jednodušší výsledek: uvádí, že takový rozklad jednoduchého mnohoúhelníku lze dosáhnout konečně mnoha polygonální kousky pokud jsou pro opětovné sestavení povoleny překlady i rotace.

Vyplývá to z výsledku Wilson (2005) že je možné vybrat kousky takovým způsobem, aby je bylo možné průběžně přesouvat a přitom zůstat disjunktní, čímž se získá pole Kromě toho lze prokázat, že tohoto silnějšího prohlášení lze dosáhnout pouze pomocí překladů.

Tyto výsledky by měly být porovnány s mnohem více paradoxní rozklady ve třech rozměrech poskytovaných Banach – Tarski paradox; tyto rozklady mohou dokonce změnit objem sady. V rovině však musí rozklad na konečně mnoho kusů zachovat součet Banachova opatření kusů, a proto nemůže změnit celkovou plochu sady (Vůz 1993 ).

Viz také

Reference

  • Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), „Srovnání kruhu pitvou“ (PDF), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (1): 47–55, PAN  1990983.
  • Laczkovich, Miklos (1990), „Rovnovážná skladatelnost a rozpor: řešení problému Tarskiho kvadratury kruhu“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 404: 77–117, doi:10.1515 / crll.1990.404,77, PAN  1037431.
  • Laczkovich, Miklos (1994), „Paradoxní rozklady: průzkum nedávných výsledků“, Proc. První evropský matematický kongres, sv. II (Paříž, 1992)Pokrok v matematice, 120, Basilej: Birkhäuser, s. 159–184, PAN  1341843.
  • Marks, Andrew; Unger, Spencer (2017), "Borelův kruh kvadratura", Annals of Mathematics, 186 (2): 581–605, arXiv:1612.05833, doi:10.4007 / annals.2017.186.2.4.
  • Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae, 7: 381.
  • Wilson, Trevor M. (2005), „Kontinuální pohybová verze paradoxu Banach – Tarski: Řešení problému De Groota“ (PDF), Journal of Symbolic Logic, 70 (3): 946–952, doi:10.2178 / jsl / 1122038921, PAN  2155273.
  • Wagon, Stan (1993), Banach – Tarski paradox Encyklopedie matematiky a její aplikace, 24, Cambridge University Press, str. 169, ISBN  9780521457040.