Paradoxní sada - Paradoxical set

The Banach – Tarski paradox je, že míč může být rozložen na konečný počet bodových sad a znovu sestaven do dvou míčů identických s originálem.

v teorie množin, a paradoxní sada je sada, která má a paradoxní rozklad. Paradoxním rozkladem množiny jsou dvě rodiny nesouvislých podmnožin spolu s příslušnými skupina akce, které na některé působí vesmír (z čehož je dotyčná sada podmnožinou), takže každý oddíl může být mapován zpět na celou sadu pomocí pouze konečně mnoha odlišných funkcí (nebo jejich složení) k provedení mapování. Sada, která připouští takový paradoxní rozklad, kde akce patří do skupiny ${displaystyle G}$ je nazýván ${displaystyle G}$-paradoxní nebo paradoxní s ohledem na ${displaystyle G}$.

Paradoxní soubory existují v důsledku Axiom nekonečna. Přijetí nekonečných tříd jako množin je dostatečné k povolení paradoxních množin.

Definice

Předpokládejme skupinu ${displaystyle G}$ působí na množinu ${displaystyle A}$. Pak ${displaystyle A}$ je ${displaystyle G}$-paradoxické, pokud existují nějaké nesouvislé podmnožiny ${displaystyle A_ {1}, ..., A_ {n}, B_ {1}, ..., B_ {m} subseteq A}$ a některé prvky skupiny ${displaystyle g_ {1}, ..., g_ {n}, h_ {1}, ..., h_ {m} v G}$ takové, že:^[1]

${displaystyle A = igcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} (A_ {i})}$ a ${displaystyle A = igcup _ {i = 1} ^ {m} h_ {i} (B_ {i})}$

Příklady

Zdarma skupina

The Zdarma skupina F na dvou generátorech a, b má rozklad ${displaystyle F = {e} pohár X (a) pohár X (a ^ {- 1}) pohár X (b) pohár X (b ^ {- 1})}$ kde E je slovo identity a ${displaystyle X (i)}$ je sbírka všech (zmenšených) slov, která začínají písmenem i. Toto je paradoxní rozklad, protože ${displaystyle X (a) pohár aX (a ^ {- 1}) = F = X (b) pohár bX (b ^ {- 1}).}$

Banach – Tarski paradox

Nejznámějším a skutečně motivujícím příkladem paradoxních množin je Banach – Tarski paradox, která rozděluje sféru na paradoxní množiny pro speciální ortogonální skupina. Tento výsledek závisí na axiom volby.

Reference