Super-Poincaré algebra - Super-Poincaré algebra

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Super-Poincaré algebra“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teoretická fyzika, a superpoincarská algebra je rozšířením Poincarého algebra začlenit supersymetrie, vztah mezi bosony a fermiony. Jsou to příklady supersymetrické algebry (bez centrální poplatky nebo vnitřní symetrie) a jsou Lež superalgebry. Superpoincaré algebra je tedy a Z₂- hodnoceno vektorový prostor s odstupňovanou Lieovou závorkou tak, aby sudá část byla a Lež algebra obsahující Poincarého algebru a lichá část je postavena z rotory na kterém je antikomutační vztah s hodnotami v sudé části.

Neformální skica

Poincarého algebra popisuje izometrie Minkowského časoprostor. Z teorie reprezentace skupiny Lorentz, je známo, že skupina Lorentz připouští dvě nerovnoměrné komplexní spinorové reprezentace, dabované ${ displaystyle 2}$ a ${ displaystyle { overline {2}}}$.^{[poznámka 1]} Beru jejich tenzorový produkt, jeden získá ${ displaystyle 2 otimes { overline {2}} = 3 oplus 1}$; takové rozklady tenzorových produktů reprezentací na přímé částky je dán Vládne Littlewood-Richardson.

Za normálních okolností se s takovým rozkladem zachází jako s konkrétními částicemi: například pion, což je chirální vektorové částice, se skládá z a tvaroh -antikvarkový pár. Dalo by se však také určit ${ displaystyle 3 oplus 1}$ se samotným časoprostorem Minkowski. To vede k přirozené otázce: pokud Minkowského časoprostor patří k adjunkční reprezentace, pak lze Poincarého symetrii rozšířit na základní zastoupení ? No, může: toto je přesně superpoincarská algebra. Existuje odpovídající experimentální otázka: pokud žijeme v adjunkční reprezentaci, kde se skrývá základní reprezentace? Toto je program supersymetrie, který nebyl experimentálně nalezen.

Dějiny

Super-Poincarého algebra byla poprvé navržena v kontextu Haag – Łopuszański – Sohniův teorém, jako prostředek k zabránění závěrům Věta Coleman – Mandula. To znamená, že teorém Coleman-Mandula je teorém no-go, který uvádí, že Poincarého algebru nelze rozšířit o další symetrie, které by mohly popisovat vnitřní symetrie pozorovaného fyzikálního spektra částic. Věta Coleman – Mandula však předpokládala, že rozšíření algebry bude pomocí komutátoru; tomuto předpokladu, a tedy teorému, se lze vyhnout zvážením anti-komutátoru, tj. použitím anti-dojíždění Grassmannova čísla. Návrh měl zvážit a supersymetrická algebra, definovaný jako polopřímý produkt a centrální prodloužení superpoincaré algebry kompaktní Lež algebra vnitřních symetrií.

Definice

Nejjednodušší supersymetrické rozšíření Poincarého algebry obsahuje dva Weyl spinors s následujícím anti-komutačním vztahem:

${ displaystyle {Q _ { alpha}, { bar {Q}} _ { dot { beta}} } = 2 { sigma ^ { mu}} _ { alpha { dot { beta }}} P _ { mu}}$

a všechny ostatní anti-komutační vztahy mezi Qs a Pzmizí.^[1] Ve výše uvedeném výrazu ${ displaystyle P _ { mu}}$ jsou generátory překladu a ${ displaystyle sigma ^ { mu}}$ jsou Pauliho matice. Index ${ displaystyle alpha}$ běží přes hodnoty ${ displaystyle alpha = 1,2.}$ Nad indexem je použita tečka ${ displaystyle { dot { beta}}}$ připomenout, že tento index se transformuje podle nerovnoměrné konjugované spinorové reprezentace; tyto dva typy indexů nesmíte nikdy náhodně uzavřít. Pauliho matice lze považovat za přímý projev Vládne Littlewood-Richardson uvedeno výše: označují, jak je tenzorový produkt ${ displaystyle 2 otimes { overline {2}}}$ dvou spinorů lze znovu vyjádřit jako vektor. Index ${ displaystyle mu}$ samozřejmě se pohybuje v časoprostorových dimenzích ${ displaystyle mu = 0,1,2,3.}$

Je pohodlné s ním pracovat Dirac spiners místo Weylových spinorů; Diracova spinora lze považovat za prvek ${ displaystyle 2 oplus { overline {2}}}$; má čtyři komponenty. The Diracovy matice jsou tedy také čtyřrozměrné a lze je vyjádřit jako přímé součty Pauliho matic. Tenzorový součin pak dává algebraický vztah k Minkowského metrika ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$ který je vyjádřen jako:

${ displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = 2g ^ { mu nu}}$

a

${ displaystyle sigma ^ { mu nu} = { frac {i} {2}} vlevo [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} vpravo]}$

To pak dává plnou algebru^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} left [M ^ { mu nu}, Q _ { alpha} right] & = { frac {1} {2}} ( sigma ^ { mu nu }) _ { alpha} ^ {; ; beta} Q _ { beta} vlevo [Q _ { alpha}, P ^ { mu} vpravo] & = 0 {Q_ { alpha}, { bar {Q}} _ { dot { beta}} } & = 2 ( sigma ^ { mu}) _ { alpha { dot { beta}}} P _ { mu} end {zarovnáno}}}$

které mají být kombinovány s normálem Poincarého algebra. Je to uzavřená algebra, protože vše Jacobi identity jsou spokojeni a mohou mít od explicitní maticové reprezentace. Sledování této linie uvažování povede k supergravitace.

SUSY v časoprostoru 3 + 1 Minkowski

v (3 + 1) Minkowského časoprostor, Haag – Łopuszański – Sohniův teorém uvádí, že algebra SUSY s generátory N spinoru je následující.

Sudá část hvězda Lie superalgebra je přímý součet Poincarého algebra a a reduktivní Lieova algebra B (tak, že jeho samoadjunkční část je tečným prostorem skutečné kompaktní Lieovy skupiny). Zvláštní část algebry by byla

${ displaystyle left ({ frac {1} {2}}, 0 right) otimes V oplus left (0, { frac {1} {2}} right) otimes V ^ {* }}$

kde ${ displaystyle (1 / 2,0)}$ a ${ displaystyle (0,1 / 2)}$ jsou konkrétní reprezentace Poincarého algebry. (Ve srovnání s notací použitou dříve v článku odpovídají ${ displaystyle { overline {2}} oplus 1}$ a ${ displaystyle 1 oplus 2}$, viz také poznámku pod čarou, kde byla zavedena předchozí notace). Obě složky jsou navzájem konjugovány pod * konjugací. PROTI je N-rozměrná komplexní reprezentace B a PROTI^* je jeho dvojí zastoupení. Ležácká závorka pro lichou část je dána symetrickou ekvivariant párování {.,.} na liché části s hodnotami v sudé části. Zejména jeho snížená mezipřistání z ${ displaystyle [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V] otimes [(0, { frac {1} {2}}) otimes V ^ {*}]}$ do ideál Poincarého algebry generované překlady se udává jako produkt nenulového intertwineru z ${ displaystyle ({ frac {1} {2}}, 0) otimes (0, { frac {1} {2}})}$ do (1 / 2,1 / 2) „mezikontinentálním stahováním“ z ${ displaystyle V otimes V ^ {*}}$ do triviální zastoupení. Na druhou stranu, jeho snížená meziprostorová linka z ${ displaystyle [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V] otimes [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V]}$ je produktem (antisymetrického) intertwineru z ${ displaystyle ({ frac {1} {2}}, 0) otimes ({ frac {1} {2}}, 0)}$ na (0,0) a antisymetrický intertwiner A z ${ displaystyle N ^ {2}}$ na B. Konjugujte to, abyste získali odpovídající případ pro druhou polovinu.

N = 1

B je teď ${ displaystyle u (1)}$ (nazývané R-symetrie) a PROTI je 1D reprezentace ${ displaystyle u (1)}$ s nabít 1. A (intertwiner definovaný výše) by musel být nulový, protože je antisymetrický.

Ve skutečnosti existují dvě verze N = 1 SUSY, jeden bez ${ displaystyle u (1)}$ (tj. B je nulový rozměr) a druhý s ${ displaystyle u (1)}$.

N = 2

B je teď ${ displaystyle su (2) oplus u (1)}$ a PROTI je 2D dubletová reprezentace ${ displaystyle su (2)}$ s nulou ${ displaystyle u (1)}$ nabít. Nyní, A je nenulový intertwiner do ${ displaystyle u (1)}$ část B.

Alternativně, PROTI může být 2D dublet s nenulovou hodnotou ${ displaystyle u (1)}$ nabít. V tomto případě, A by musel být nula.

Další možností by bylo nechat to B být ${ displaystyle u (1) _ {A} oplus u (1) _ {B} oplus u (1) _ {C}}$. PROTI je neměnný pod ${ displaystyle u (1) _ {B}}$ a ${ displaystyle u (1) _ {C}}$ a rozloží se na 1D zástupce s ${ displaystyle u (1) _ {A}}$ poplatek 1 a další 1D rep s poplatkem -1. Propletenec A by bylo složité s mapováním skutečné části na ${ displaystyle u (1) _ {B}}$ a imaginární část mapovaná na ${ displaystyle u (1) _ {C}}$.

Nebo bychom mohli B bytost ${ displaystyle su (2) oplus u (1) _ {A} oplus u (1) _ {B}}$ s PROTI je dublet rep ${ displaystyle su (2)}$ s nulou ${ displaystyle u (1)}$ poplatky a A být složitým propleteným způsobem s mapováním skutečné části na ${ displaystyle u (1) _ {A}}$ a imaginární část ${ displaystyle u (1) _ {B}}$.

Tím se ani nevyčerpají všechny možnosti. Vidíme, že je jich více N = 2 supersymetrie; stejně tak SUSY pro N > 2 také nejsou jedinečné (ve skutečnosti se to jen zhoršuje).

N = 3

Je to teoreticky povoleno, ale struktura multipletů se automaticky stává stejnou jako u N= 4 supersymetrická teorie. Ve srovnání s ním je tedy diskutován méně často N= 1,2,4 verze.

N = 4

Toto je maximální počet přeplňování v teorii bez gravitace.

SUSY v různých rozměrech

V dimenzích 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 atd. Je algebra SUSY klasifikována kladným celým číslemN.

V dimenzích 1 + 1, 5 + 1, 9 + 1 atd. Je algebra SUSY klasifikována dvěma nezápornými celými čísly (M, N), z nichž alespoň jeden je nenulový. M představuje počet leváků SUSY a N představuje počet pravorukých SUSY.

Důvod je spojen s realitními podmínkami rotory.

Dále d = 9 znamená d = 8 + 1 v Minkowského podpisu atd. Struktura supersymetrické algebry je dána hlavně počtem fermionických generátorů, tedy počtem N krát skutečná dimenze spinoru d rozměry. Je to proto, že lze získat supersymetrickou algebru nižší dimenze snadno z algebry vyšší dimenze pomocí dimenzionální redukce.

d = 11

Jediným příkladem je N = 1 supersymetrie s 32 přeplňováním.

d = 10

Z d = 11, N = 1 SUSY, jeden získá N = (1, 1) nechirální SUSY algebra, která se také nazývá supersymetrie typu IIA. K dispozici je také N = (2, 0) SUSY algebra, která se nazývá supersymetrie typu IIB. Oba mají 32 přeplňování.

N = (1, 0) SUSY algebra se 16 přeplňováním je minimální algebra susy v 10 rozměrech. Nazývá se také supersymetrie typu I. Typ IIA / IIB / I teorie superstrun má algebru SUSY odpovídajícího jména. Supersymetrická algebra pro heterotické superstruny je typu I.

Poznámky

Poznámky

Reference

• Aitchison, Ian J R (2005). „Supersymetrie and the MSSM: An Elementary Introduction“. arXiv:hep-ph / 0505105.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gol'fand, Y. A.; Likhtman, E. P. (1971). „Rozšíření algebry generátorů skupiny Poincare a narušení P invariance“. JETP Lett. 13: 323–326. Bibcode:1971JETPL..13..323G.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• van Nieuwenhuizen, P. (1981). „Supergravitace“. Phys. Rep. 68 (4): 189–398. Bibcode:1981PhR .... 68..189V. doi:10.1016/0370-1573(81)90157-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Volkov, D. V .; Akulov, V. P. (1972). „Možná univerzální interakce neutrina“. JETP Lett. 16 (11): 621 stranCS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Volkov, D. V .; Akulov, V. P. (1973). „Je neutrino částice zlatého kamene“. Phys. Lett. B. 46 (1): 109–110. Bibcode:1973PhLB ... 46..109V. doi:10.1016/0370-2693(73)90490-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weinberg, Steven (2000). Supersymetrie. Kvantová teorie polí. 3 (1. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-0521670555.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Wess, J.; Zumino, B. (1974). "Transformace Supergauge ve čtyřech rozměrech". Jaderná fyzika B. 70 (1): 39–50. Bibcode:1974NuPhB..70 ... 39W. doi:10.1016/0550-3213(74)90355-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)