Spektrální prostor - Spectral space

v matematika, a spektrální prostor je topologický prostor to je homeomorfní do spektrum komutativního kruhu. Někdy se mu také říká a soudržný prostor kvůli připojení k koherentní topos.

Definice

Nechat X být topologickým prostorem a nechat K.^{${ displaystyle circ}$}(X) být množinou všech kompaktní otevřené podmnožiny z X. Pak X se říká, že je spektrální pokud splňuje všechny následující podmínky:

• X je kompaktní a T₀.
• K.^{${ displaystyle circ}$}(X) je základ otevřených podmnožin X.
• K.^{${ displaystyle circ}$}(X) je uzavřeno pod konečné křižovatky.
• X je střízlivý, tj. každé neprázdné neredukovatelné uzavřená podmnožina z X má (nutně jedinečný) obecný bod.

Ekvivalentní popisy

Nechat X být topologickým prostorem. Každá z následujících vlastností je ekvivalentní vlastnosti X být spektrální:

1. X je homeomorfní do a projektivní limit konečný T₀-prostory.
2. X je homeomorfní vůči spektrum a ohraničená distribuční mřížka L. V tomto případě, L je izomorfní (jako ohraničená mřížka) s mřížkou K.^{${ displaystyle circ}$}(X) (tomu se říká Kamenné zastoupení distribučních svazů).
3. X je homeomorfní vůči spektrum komutativního kruhu.
4. X je topologický prostor určený a Priestleyův prostor.
5. X je T.₀ prostor jehož rám otevřených množin je koherentní (a každý koherentní snímek tímto způsobem pochází z jedinečného spektrálního prostoru).

Vlastnosti

Nechat X být spektrálním prostorem a nechat K.^{${ displaystyle circ}$}(X) být jako předtím. Pak:

• K.^{${ displaystyle circ}$}(X) je ohraničená sublattice podskupin X.
• Každý zavřený podprostor z X je spektrální.
• Libovolný průnik kompaktních a otevřených podmnožin X (odtud prvky z K.^{${ displaystyle circ}$}(X)) je opět spektrální.
• X je T₀ podle definice, ale obecně ne T₁.^[1] Ve skutečnosti je spektrální prostor T₁ právě když je Hausdorff (nebo T₂) právě tehdy, pokud se jedná o a booleovský prostor kdyby a jen kdyby K.^{${ displaystyle circ}$}(X) je booleovská algebra.
• X může být viděn jako párový kamenný prostor.^[2]

Spektrální mapy

A spektrální mapa f: X → Y mezi spektrálními prostory X a Y je souvislá mapa taková, že preimage každé otevřené a kompaktní podskupiny Y pod F je opět kompaktní.

Kategorie spektrálních prostorů, která má spektrální mapy jako morfismy, je dvojí ekvivalent do kategorie ohraničených distribučních svazů (spolu s morfismem takových svazů).^[3] V této anti-ekvivalenci spektrální prostor X odpovídá mřížce K.^{${ displaystyle circ}$}(X).

Reference

• M. Hochster (1969). Připravte ideální strukturu v komutativních kruzích. Trans. Amer. Matematika. Soc., 142 43—60
• Johnstone, Peter (1982), "II.3 Koherentní národní prostředí", Kamenné prostory, Cambridge University Press, s. 62–69, ISBN  978-0-521-33779-3.
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spektrální prostory. Nové matematické monografie. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN  9781107146723.

Poznámky pod čarou