Ostré dohady - Stark conjectures - Wikipedia

v teorie čísel, Ostré dohady, představil Stark  (1971, 1975, 1976, 1980 ) a později rozšířen o Tate  (1984 ), dát konjekturální informace o součinitel vedoucího termínu v Taylor expanze z Funkce Artin L. spojené s a Galoisovo rozšíření K./k z algebraické číselné pole. Domněnky zobecňují vzorec čísla analytické třídy vyjádření vedoucího koeficientu Taylorovy řady pro Funkce Dedekind zeta číselného pole jako součin a regulátor související s S-jednotky pole a racionální číslo. Když K./k je abelian rozšíření a pořadí zmizení funkce L při s = 0 je jedna, Stark upřesnil svou domněnku a předpověděl existenci určitých S-jednotek, tzv. Stark jednotky. Vtírat  (1996 ) a Cristian Dumitru Popescu dal rozšíření této rafinované domněnky k vyšším řádům mizení.

Formulace

Starkovy domněnky v nejobecnější podobě předpovídají, že hlavní koeficient funkce Artin L je produktem typu regulátoru, Stark regulátor, s algebraické číslo. Když je přípona abelian a pořadí zmizení funkce L při s = 0 je jedna, Starkova rafinovaná domněnka předpovídá existenci Starkových jednotek, jejichž kořeny se generují Kummer rozšíření z K. které jsou abelian nad základním polem k (a nejen Abelian K., jak naznačuje Kummerova teorie). Toto zdokonalení jeho domněnky má tedy teoretické důsledky pro řešení Hilbertův dvanáctý problém. Je také možné vypočítat Starkovy jednotky na konkrétních příkladech, což umožňuje ověřit věrohodnost jeho rafinované domněnky a poskytnout důležitý výpočetní nástroj pro generování abelianských rozšíření číselných polí. Ve skutečnosti některé standardní algoritmy pro výpočet abelianských rozšíření číselných polí zahrnují produkci Starkových jednotek, které generují rozšíření (viz níže).

Výpočet

Nulové domněnky prvního řádu se používají v posledních verzích Počítačový algebraický systém PARI / GP počítat Pole třídy Hilbert polí se zcela reálnými čísly a domněnky poskytují jedno řešení Hilbertovy dvanácté úlohy, která vyzvala matematiky, aby ukázali, jak pole třídy mohou být konstruovány na jakémkoli číselném poli metodami komplexní analýza.

Pokrok

Starkova hlavní domněnka byla prokázána v různých zvláštních případech, včetně případu, kdy znak definující L-funkce přebírá pouze racionální hodnoty. Kromě případů, kdy je základním polem pole racionálních čísel nebo imaginární kvadratické pole, abelianské Starkovy domněnky stále nejsou v číselných polích ověřeny a bylo dosaženo dalšího pokroku funkční pole algebraické odrůdy.

Manine  (2004 ) související Starkovy dohady s nekomutativní geometrie z Alain Connes.^[1] To poskytuje koncepční rámec pro studium dohadů, i když v tuto chvíli není jasné, zda Maninovy ​​techniky přinesou skutečný důkaz.

Poznámky

Reference

• Burns, David; Sands, Jonathan; Solomon, David, eds. (2004), Starkovy dohady: nedávná práce a nové směry, Současná matematika, 358, Providence, RI: Americká matematická společnost, doi:10.1090 / conm / 358, ISBN  978-0-8218-3480-0, PAN  2090725, archivovány z originál dne 26.04.2012
• Manin, Jurij Ivanovič (2004), „Real multiplication and noncommutative geometry (ein Alterstraum)“, in Piene, Ragni; Laudal, Olav Arnfinn (eds.), Dědictví Nielse Henrika Abela, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 685–727, arXiv:matematika / 0202109, Bibcode:2002math ...... 2109M, ISBN  978-3-540-43826-7, PAN  2077591
• Popescu, Cristian D. (1999), „O rafinovaném Starkově domněnce pro funkční pole“, Compositio Mathematica, 116 (3): 321–367, doi:10.1023 / A: 1000833610462, ISSN  0010-437X, PAN  1691163
• Rubin, Karl (1996), „Starkova domněnka nad Z pro abelianské L-funkce s více nulami“, Annales de l'Institut Fourier, 46 (1): 33–62, doi:10,5802 / aif.1505, ISSN  0373-0956, PAN  1385509
• Stark, Harold M. (1971), „Hodnoty L-funkcí at s = 1. I. L-funkce pro kvadratické tvary. ", Pokroky v matematice, 7 (3): 301–343, doi:10.1016 / S0001-8708 (71) 80009-9, ISSN  0001-8708, PAN  0289429
• Stark, Harold M. (1975), „L-functions at s = 1. II. Artin L-funkce s racionálními znaky ", Pokroky v matematice, 17 (1): 60–92, doi:10.1016/0001-8708(75)90087-0, ISSN  0001-8708, PAN  0382194
• Stark, H. M. (1977), "Class Class and Modular Forms of Weight One", in Serre, Jean-Pierre; Zagier, D. B. (eds.), Modulární funkce jedné proměnné V: Proceedings International Conference, University of Bonn, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, červenec 1976, Přednášky v matematice, 601, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 277–287, doi:10.1007 / BFb0063951, ISBN  978-3-540-08348-1, PAN  0450243
• Stark, Harold M. (1976), „L-functions at s = 1. III. Zcela reálná pole a Hilbertův dvanáctý problém ", Pokroky v matematice, 22 (1): 64–84, doi:10.1016/0001-8708(76)90138-9, ISSN  0001-8708, PAN  0437501
• Stark, Harold M. (1980), „L-functions at s = 1. IV. První deriváty v s = 0", Pokroky v matematice, 35 (3): 197–235, doi:10.1016/0001-8708(80)90049-3, ISSN  0001-8708, PAN  0563924
• Tate, Johne (1984), „Les Conectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0“, Matematické programování, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, 47 (1–3): 143–153, doi:10.1007 / BF01580857, ISBN  978-0-8176-3188-8, PAN  0782485

externí odkazy

• Hayes, David R. (1999), Přednášky o Starkových domněnkách, archivovány od originálu 4. února 2012CS1 maint: unfit url (odkaz)